Satz von Parseval

Der Satz von Parseval ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Er besagt, dass die L²-Norm einer Fourier-Reihe mit der $\ell^2$-Norm ihrer Fourier-Koeffizienten übereinstimmt. Die Aussage entstand 1799 aus einem Satz über mathematische Reihen von Marc-Antoine Parseval, der später auf die Fourier-Reihen ausgedehnt wurde. Parseval, der sich eigentlich nur auf reell-wertige Funktionen konzentrierte, veröffentlichte seinen Satz ohne Beweis, da er seine Richtigkeit für augenscheinlich hielt. Eine ähnliche Aussage für die Fourier-Transformation macht der Satz von Plancherel. Oftmals werden diese beiden Sätze nicht richtig auseinandergehalten und benennt auch den Satz von Plancherel nach Parseval.

Aussagen des Parsevalschen Theorems

Seien A und B zwei riemann-integrierbare komplexwertige Funktionen über $\R$ mit Periode 2π und der Fourier-Reihen-Zerlegung

$A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx}$ und $B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}$.

Dann gilt

$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n b_n^* = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x) B(x)^* dx,$

wobei i die Imaginäre Einheit ist und "*" konjugiert komplex bezeichnet.

Es gibt viele verschiedene Spezialfälle des Theorems. Ist z.B. A = B, erhält man

$\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |A(x)|^2 dx,$

woraus die Unitarität der Fourierreihen folgt.

Außerdem sind oft nur die Fourierreihen für reell-wertige Funktionen A und B gemeint, was folgendem Spezialfall entspricht:

a₀ reell, $a_{-n} = a_n^*$,

b₀ reell, $b_{-n} = b_n^*$.

In diesem Fall ist

$a_0 b_0 + 2 \Re \{ \sum_{n=1}^\infty a_n b_n^*\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x) B(x)dx,$

wobei $\Re$ den Realteil bezeichnet.

Anwendungen

In der Physik und den Ingenieurwissenschaften wird mit dem Parsevalschen Theorem ausgedrückt, dass die Energie eines Signals im Zeitbereich gleich seiner Energie im Frequenzbereich ist. Dies wird in folgender Gleichung ausgedrückt:

$\int_{-\infty}^{\infty}{|x(t)|^2 dt} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{|X(\omega)|^2 d\omega}$

wobei $X(\omega) = \mathcal{F} \{ x(t) \}$ die Fourier-Transformation von x(t) ist und ω die Frequenz des Signals bezeichnet.

Für zeitdiskrete Signale wird die Gleichung zu

$\sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2,$

wobei X[k] die diskrete Fourier-Transformation (DFT) von x[n] ist, beide mit Intervalllänge N.

Siehe auch

• Besselsche Ungleichung
• Parsevalsche Gleichung

Referenzen

• Parseval, MacTutor History of Mathematics archive.
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
• Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
• William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.
• David W. Kammler, A First Course in Fourier Analysis (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.