- Schwartz-Raum
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Der Schwartz-Raum, benannt nach Laurent Schwartz, ist ein Teilraum der glatten Funktionen. Eine Besonderheit dieses Raumes ist, dass die Fouriertransformation einen linearen Automorphismus auf diesem Raum bildet.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Eine Funktion
heißt Schwartzfunktion oder schnell-fallend, wenn sie beliebig oft stetig differenzierbar ist, und wenn für alle Multiindizes
die Funktion xαDβf(x) auf
beschränkt ist.
Der Vektorraum aller Schwartzfunktionen heißt Schwartz-Raum und wird mit
bezeichnet. In aller Kürze gilt also
Der Schwartz-Raum ist ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum, welcher durch die Familie von Halbnormen
induziert wird.
Beispiele
- Die Funktion exp( − x2) ist eine Schwartzfunktion auf
.
- Jede beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger ist eine Schwartz-Funktion. Der Vektorraum der Testfunktionen mit kompaktem Träger
ist also ein echter Teilraum des Schwartz-Raums.
- Die hermiteschen Funktionen sind ebenfalls Schwartz-Funktionen.
Eigenschaften
- Der Schwartz-Raum ist vollständig und daher ein Fréchet-Raum. Er hat auch die Montel-Eigenschaft.
- Die Fouriertransformation bildet einen linearen Automorphismus auf dem Schwartzraum.
- Wie oben schon erwähnt ist der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger ein Unterraum des Schwartz-Raums. Dieser liegt sogar dicht im Schwartz-Raum.
- Der Schwartz-Raum ist separabel.
- Sei
eine offene Teilmenge. Für
ist der Schwartz-Raum
ein Unterraum der p-integrierbaren Funktionen Lp(Ω) und für
liegt der Schwartz-Raum
dicht in
bezüglich der Standard-Lp-Norm. Für beschränkte Teilmengen Ω ist das im Allgemeinen nicht richtig. Mithilfe dieses Dichtheitsargumentes kann man die Fourier-Transformation auf dem Hilbertraum
definieren. Im Allgemeinen konvergiert nämlich das Fourier-Integral für eine
-Funktion nicht.
Temperierte Distributionen
Eine stetige, lineare Abbildung
heißt temperierte Distribution. Die Menge aller temperierten Distributionen wird mit
bezeichnet. Dies ist der topologische Dualraum zu
.
Literatur
- Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
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