Schwartz-Raum

Graph der zweidimensionalen Gauß'schen Glockenkurve

Der Schwartz-Raum, benannt nach Laurent Schwartz, ist ein Teilraum der glatten Funktionen. Eine Besonderheit dieses Raumes ist, dass die Fouriertransformation einen linearen Automorphismus auf diesem Raum bildet.

Definition

Eine Funktion $f: \R^n \rightarrow \C$ heißt Schwartzfunktion oder schnell-fallend, wenn sie beliebig oft stetig differenzierbar ist, und wenn für alle Multiindizes $\alpha , \beta \in \N^n_0$ die Funktion x^αD^βf(x) auf $\R^n$ beschränkt ist.

Der Vektorraum aller Schwartzfunktionen heißt Schwartz-Raum und wird mit $\mathcal{S}(\R^n)$ bezeichnet. In aller Kürze gilt also

$\begin{align} \mathcal{S}(\R^n) \; &\overset{\text{Df}}{=}\; \left\{ \phi \in C^\infty(\R^n) \,\Big|\, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{N}_0^n: \; \sup_{x\in\R^n} |x^\alpha D^\beta \phi(x) | <\infty\; \right\} \\[.4em] &= \left\{ \phi \in C^\infty(\R^n) \,\Big|\, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{N}_0^n,\, \exists C\ge0,\,\forall x\in\R^n: \; |x^\alpha D^\beta \phi(x) | \le C\; \right\} \,.\end{align}$

Der Schwartz-Raum ist ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum, welcher durch die Familie von Halbnormen

$\|f\|_N = \sup_{x \in \R^n} \max_{|\alpha|,\, |\beta| < N} |x^\alpha D^\beta f(x)|$

induziert wird.

Beispiele

• Die Funktion exp( − x²) ist eine Schwartzfunktion auf $\R$.
• Jede beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger ist eine Schwartz-Funktion. Der Vektorraum der Testfunktionen mit kompaktem Träger $C_c^\infty(\R^n)\cong \mathcal{D}(\R^n)$ ist also ein echter Teilraum des Schwartz-Raums.
• Die hermiteschen Funktionen sind ebenfalls Schwartz-Funktionen.

Eigenschaften

• Der Schwartz-Raum ist vollständig und daher ein Fréchet-Raum. Er hat auch die Montel-Eigenschaft.
• Die Fouriertransformation bildet einen linearen Automorphismus auf dem Schwartzraum.
• Wie oben schon erwähnt ist der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger ein Unterraum des Schwartz-Raums. Dieser liegt sogar dicht im Schwartz-Raum.
• Der Schwartz-Raum ist separabel.
• Sei $\Omega \subset \R^n$ eine offene Teilmenge. Für $1 \leq p \leq \infty$ ist der Schwartz-Raum $\mathcal{S}(\Omega)$ ein Unterraum der p-integrierbaren Funktionen L^p(Ω) und für $1 \leq p < \infty$ liegt der Schwartz-Raum $\mathcal{S}(\R^n)$ dicht in $L^p(\R^n)$ bezüglich der Standard-L^p-Norm. Für beschränkte Teilmengen Ω ist das im Allgemeinen nicht richtig. Mithilfe dieses Dichtheitsargumentes kann man die Fourier-Transformation auf dem Hilbertraum $L^2(\R^n)$ definieren. Im Allgemeinen konvergiert nämlich das Fourier-Integral für eine $L^2(\R^n)$-Funktion nicht.

Temperierte Distributionen

→ Hauptartikel: Temperierte Distribution

Eine stetige, lineare Abbildung $f:\mathcal{S}(\R^n) \rightarrow \C$ heißt temperierte Distribution. Die Menge aller temperierten Distributionen wird mit $\mathcal{S}'(\R^n)$ bezeichnet. Dies ist der topologische Dualraum zu $\mathcal{S}(\R^n)$.

Literatur

• Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).