Satz von Stewart

Der Satz von Stewart ist ein Satz der euklidischen Geometrie, der bei der Beschreibung der Geometrie eines Dreiecks verwendet wird. Mit ihm lässt sich die Länge einer Strecke durch die Ecke eines Dreiecks zur ihr gegenüberliegenden Seite berechnen. Er wurde 1746 vom schottischen Mathematiker Matthew Stewart aufgestellt (obwohl er vermutlich schon Archimedes bekannt war).

Definition

Konstruktion zum Satz von Stewart

Gegeben sei ein Dreieck (siehe Bild) mit den definierenden Eckpunkten A, B und C und den Seitenlängen

$a=\overline{CB}$; $b=\overline{AC}$ und $c=\overline{AB}$.

Weiter sei M ein Punkt auf der Strecke $\overline{AB}$ mit

$x=\overline{AM}$; $y=\overline{MB}$ und $c=x+y\,$.

Der Satz von Stewart besagt dann:

$xa^2 + yb^2 = \left(x+y\right)\overline{CM}^2 +xy^2+yx^2 = c \left(\overline{CM}^2 + xy\right)$

Wird der Bruchteil $\frac{\overline{AM}}{\overline{AB}}$ mit $\phi\,$ bezeichnet, dann gilt (mit $\phi^\prime=1-\phi$)

$x=\phi c\,$ und $y=\phi^\prime c$ ,

und der Satz lässt sich auch folgendermaßen formulieren:

$\overline{CM}^2=a^2 \phi + b^2 \phi^\prime - c^2\phi\phi^\prime$

Anwendungen

Der wichtige Satz des Heron zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks aus seinen Seitenlängen folgt direkt aus dem Satz von Stewart. Der Satz von Stewart wurde auch vom niederländischen Mathematiker Oene Bottema für die Anwendung auf Simplexen und Tetraedern verallgemeinert.

Literatur

• Altshiller-Court, N. Stewart's Theorem., in College Geometry: A Second Course in Plane Geometry for Colleges and Normal Schools, 2nd ed., Barnes and Noble, 1952
• Bottema, O. Eine Erweiterung der Stewartschen Formel., In Elemente der Mathematik. 34/1979, S. 138-140, (ISSN 0013-6018)
• Bottema, O. De formule van Stewart voor een viervlak., In Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde., 68/1980-81, S. 79-83,
• Coxeter, H.S., Greitzer, S.L. Zeitlose Geometrie, Klett, 1983, ISBN:3129833900

Weblinks

• Beweis des Satzes (pdf)