- Satz von Thue-Siegel-Roth
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Der Satz von Thue-Siegel-Roth aus der Theorie diophantischer Approximationen in der Zahlentheorie wurde von Klaus Friedrich Roth nach Vorarbeiten von Axel Thue und Carl Ludwig Siegel 1955 bewiesen.[1]
Er besagt, dass für jede algebraische Zahl α und jedes
0" border="0"> die Ungleichung (p, q teilerfremd)
(Gleichung 1)
nur endlich viele Lösungen hat. Davor hatte bereits Joseph Liouville 1844 gezeigt, dass für irrationale α in
(Gleichung 2)
gilt:
. Hierbei ist n der Grad der algebraischen Gleichung mit Wurzel α. Elementare Überlegungen zeigen außerdem, dass
ist (siehe unten). Axel Thue zeigte 1908, dass
und Carl Ludwig Siegel 1921 in seiner Dissertation, dass
. Roth verbesserte also auf
.
Indem man diese endlich vielen Lösungen beiseite lässt, lässt sich aus (Gleichung 1) folgern, dass für genügend große q für jedes irrationale α gilt:
C(\varepsilon)q^{-(2 + \varepsilon)}" border="0"> (Gleichung 3)
mit einem nur von
abhängigen C. Das ist der „beste“ mögliche solche Satz, da nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Dirichlets Approximationssatz) jede reelle Zahl α Approximanten p/q hat, die näher als q − (2) liegen (es gibt sogar unendlich viele, z. B. die Approximanten der Kettenbruch-Darstellungen dieser Zahlen).
Der Beweis von Roth gibt keine Methode an, solche Lösungen zu finden bzw. C einzuschränken. Das wäre interessant, um etwas über die Anzahl der Lösungen Diophantischer Gleichungen zu erfahren (d. h. ganzzahligen oder rationalen Lösungen algebraischer Gleichungen, für die beispielsweise das α in Gleichung (3) eine reelle Wurzel ist). Solche effektiven Methoden wurden in den 1960er Jahren von Alan Baker in die Theorie transzendenter Zahlen und diophantischer Gleichungen eingeführt.
Quellen
- ↑ K. F. Roth, Rational approximations to algebraic numbers and Corrigendum, Mathematika, Bd.2, S.1-20 und 168 (1955).
Weblinks
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