Satz von Thue-Siegel-Roth

Der Satz von Thue-Siegel-Roth aus der Theorie diophantischer Approximationen in der Zahlentheorie wurde von Klaus Friedrich Roth nach Vorarbeiten von Axel Thue und Carl Ludwig Siegel 1955 bewiesen.^[1]

Er besagt, dass für jede algebraische Zahl α und jedes $\varepsilon >0$ die Ungleichung (p, q teilerfremd)

$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < q^{-(2 + \varepsilon)}$ (Gleichung 1)

nur endlich viele Lösungen hat. Davor hatte bereits Joseph Liouville 1844 gezeigt, dass für irrationale α in

$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < q^{-(\mu)}$ (Gleichung 2)

gilt: $\mu \leq n$. Hierbei ist n der Grad der algebraischen Gleichung mit Wurzel α. Elementare Überlegungen zeigen außerdem, dass $\mu \geq 2$ ist (siehe unten). Axel Thue zeigte 1908, dass $\mu \leq n/2+1$ und Carl Ludwig Siegel 1921 in seiner Dissertation, dass $\mu \leq 2 \sqrt {n}$. Roth verbesserte also auf $\mu \leq 2$.

Indem man diese endlich vielen Lösungen beiseite lässt, lässt sich aus (Gleichung 1) folgern, dass für genügend große q für jedes irrationale α gilt:

$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| > C(\varepsilon)q^{-(2 + \varepsilon)}$ (Gleichung 3)

mit einem nur von $\epsilon$ abhängigen C. Das ist der „beste“ mögliche solche Satz, da nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Dirichlets Approximationssatz) jede reelle Zahl α Approximanten p/q hat, die näher als q ^{− (2)} liegen (es gibt sogar unendlich viele, z. B. die Approximanten der Kettenbruch-Darstellungen dieser Zahlen).

Der Beweis von Roth gibt keine Methode an, solche Lösungen zu finden bzw. C einzuschränken. Das wäre interessant, um etwas über die Anzahl der Lösungen Diophantischer Gleichungen zu erfahren (d. h. ganzzahligen oder rationalen Lösungen algebraischer Gleichungen, für die beispielsweise das α in Gleichung (3) eine reelle Wurzel ist). Solche effektiven Methoden wurden in den 1960er Jahren von Alan Baker in die Theorie transzendenter Zahlen und diophantischer Gleichungen eingeführt.

Quellen

1. ↑ K. F. Roth, Rational approximations to algebraic numbers and Corrigendum, Mathematika, Bd.2, S.1-20 und 168 (1955).

Weblinks

• Ishak The Thue-Siegel-Roth-Theorem mit dem Beweis aus dem Buch von Leveque Topics in Number Theory 1956, pdf Datei