Schnittwinkel (Geometrie)

Schnittwinkel in Graphen

α ist der Schnittwinkel zwischen f und g.

Der Schnittwinkel α zwischen zwei Geraden mit der Steigung m₁ bzw. m₂ (oder allgemeiner: zwischen zwei Kurven mit Ableitung m₁ bzw. m₂ in dem Schnittpunkt) berechnet sich mittels:

$\tan \alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2}\right|$

Die Herleitung der Formel erfolgt über die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen.

Schnittwinkel für Vektoren

In einem Vektorraum mit Skalarprodukt $\langle\cdot,\cdot\rangle$ und dadurch induzierter Norm $\left|\cdot\right|$, definiert man den Schnittwinkel α zweier Vektoren $\vec x$ und $\vec y$ wie folgt:

$\cos \alpha := \frac{|\langle \vec x, \vec y\rangle|}{\left|\vec x\right|\cdot\left|\vec y\right|}$

Beispiel

Für $\vec x = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ und $\vec y = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ gilt mit Standardskalarprodukt: $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, also $\alpha = 45^\circ$.