- Sesquilinearform
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Als Sesquilinearform (lat. sesqui = anderthalb) bezeichnet man in der linearen Algebra eine Funktion, die zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnet, und die linear in einem, semilinear im anderen ihrer beiden Argumente ist.
Die beiden Argumente können verschiedenen Vektorräumen V,W entstammen, denen jedoch ein gemeinsamer Skalarkörper K zugrunde liegen muss; eine Sesquilinearform ist eine Abbildung ; sie ist eine Linearform bezüglich dem einen und eine Semilinearform bezüglich dem anderen Argument. Für die Reihenfolge von linearem und semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen; in der Physik ist es üblich, das semilineare Argument zuerst zu nennen.
Relevant ist der Begriff Sesquilinearform nur über dem Körper der komplexen Zahlen ; über den reellen Zahlen ist jede Sesquilinearform eine Bilinearform.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Es seien V,W Vektorräume über den komplexen Zahlen.
Eine Abbildung
heißt Sesquilinearform, wenn S semilinear im ersten und linear im zweiten Argument ist, das heißt
und
Dabei sind , und .
Manchmal wird stattdessen auch Linearität im ersten und Semilinearität im zweiten Argument gefordert; dieser Unterschied ist jedoch rein formaler Natur.
Diese Definition lässt sich auch auf Vektorräume über anderen Körpern oder Moduln über einem Ring verallgemeinern, sobald auf dem Grundkörper bzw. -ring ein ausgezeichneter Automorphismus oder zumindest Endomorphismus
gegeben ist. Ein Kandidat für derartige Endomorphismen ist der Frobeniushomomorphismus in positiver Charakteristik.
Die konstante Nullabbildung ist eine Sesquilinearform, wir schreiben S = 0. Punktweise Summen und skalare Vielfache von Sesquilinearformen sind wieder Sesquilinearformen. Die Menge der Sesquilinearformen bildet also einen -Vektorraum.
Hermitesche Sesquilinearform
Eine Sesquilinearform heißt hermitesch, falls
gilt, hierbei bezeichnet die komplexe Konjugation.
Diese Definition ist analog zur Definition der symmetrischen Bilinearform. Das Adjektiv hermitesch leitet sich von dem Mathematiker Charles Hermite ab.
Beispiele
Das innere Produkt über einem komplexen Vektorraum ist eine Sesquilinearform mit Hermitescher Symmetrie, also sogar eine Hermitesche Form, siehe auch Kreinraum.
Eindeutige Bestimmtheit durch die Diagonale
Aussage
Die Definition der Sesquilinearform mag zunächst komplizierter erscheinen als die der Bilinearform. Eine Eigenschaft, die Sesquilinearformen von unsymmetrischen Bilinearformen unterscheidet, ist die Folgende:
- Ist S(x,x) = 0 für alle x, dann ist S = 0.
Daraus folgt, ist S(x,x) = T(x,x) für alle x, dann (S − T)(x,x) = 0, also S = T.
Gegenbeispiel
Für Bilinearformen ist die Behauptung falsch. Dies erkennt man an folgendem Beispiel. Sei und setze
- .
Das ist offenbar bilinear und es gilt S(x,x) = − x1x2 + x1x2 = 0, aber auch S((1,0),(0,1)) = 1.
Folgerung
Sei ein Hilbertraum und T ein beschränkter linearer Operator. Dann ist eine Sesquilinearform (und jede Sesquilinearform lässt sich so schreiben). Nun ist S = 0 genau dann wenn T = 0 ().
Es folgt also, dass ein Operator Null ist, genau dann wenn für alle x.
Literatur
- Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer-Lehrbuch, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29884-3.
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