Hermitesche Form

Als Hermitesche Form (nach Charles Hermite) bezeichnet man in der linearen Algebra eine Sesquilinearform mit Hermitescher Symmetrie.

Das heißt: mit einem Vektorraum V über dem Körper $\mathbb C$ ist eine Hermitesche Form eine Abbildung

$\langle \,,\,\rangle\colon V \times V \to \mathbb C$,

die für alle x,y,z aus V und für alle a, aus $\mathbb C$ die folgenden Bedingungen erfüllt:

• (1) $\;\langle x,\,a \cdot y+z \rangle = a \langle x, y \rangle+\langle x, z \rangle$ (linear in einem Argument);
• (2) $\;\langle a\cdot x + y, z \rangle = \overline{a}\langle x, z \rangle+\langle y, z \rangle$ (semilinear im anderen Argument);
• (3) $\;\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ (Hermitesche Symmetrie).

Dabei bezeichnet $\overline{x}$ komplexe Konjugation.

Für die Reihenfolge von linearem und semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen.

Aus den Eigenschaft (1) und (3) folgt bereits (2), oder aus (2) und (3) folgt (1); nur um der Übersichtlichkeit willen sind sowohl (1) als auch (2) als Bedingungen genannt worden.

Relevant ist der Begriff der Hermiteschen Form nur über dem Körper der komplexen Zahlen $\mathbb C$; über den reellen Zahlen $\mathbb R$ ist jede Hermitesche Form eine symmetrische Bilinearform.

Das innere Produkt über einem komplexen Vektorraum ist eine Hermitesche Form.

Die durch

$\langle \vec{x},\vec{y} \rangle =\langle (x_1, x_2, ..., x_n),(y_1, y_2, ..., y_n)\rangle =\bar x_1 y_1 +\bar x_2 y_2 +...+\bar x_n y_n$

definierte Abbildung heißt Hermitesche Standardform.