Sierpiński-Konstante

Die Sierpiński-Konstante ist eine mathematische Konstante, benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński. Sie kann unter anderem durch den folgenden Ausdruck definiert werden:

$K=\lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^{n}{r_2(k)\over k} - \pi\ln n\right),$

wobei r₂(k) die Anzahl der Darstellungen von k in der Form a² + b² mit ganzen Zahlen a und b unter Beachtung der Reihenfolge ist. Ein expliziter Ausdruck für K ist

$K=\pi\left(2\gamma+\log\frac{4\pi^3}{\Gamma(1/4)^4}\right)$

mit der Euler-Mascheroni-Konstante γ und der Gammafunktion Γ.

Der Wert von K ist ungefähr

K = 2,58498 17595 79253 21706 58935 87383 17116 00880 51651 85263 ... (Folge A062089 in OEIS)

Literatur

• Wacław Sierpiński: O sumowaniu szeregu $\textstyle\sum_{n>a}^{n\leq b}\tau(n)f(n)$, gdzie τ(n) oznacza liczbę rozkładów liczby n na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych (Über die Summierung der Reihe $\textstyle\sum_{n>a}^{n\leq b}\tau(n)f(n)$, wo τ(n) die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von zwei Quadraten bezeichnet), Prace matematyczno-fizyczne 18, 1907, S. 1–60 (polnisch; „K=2,5849817596“ auf S. 27; im Internet-Archiv: [1]; Jahrbuch-Bericht: [2])

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Sierpiński-Konstante. In: MathWorld. (englisch)
• Folge A062083 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von K)
• Folge A108905 in OEIS (Engel-Entwicklung von K)