Solitonen

Ein Soliton ist ein Wellenpaket, welches sich durch ein dispersives und zugleich nichtlineares Medium bewegt und sich ohne Änderung seiner Form ausbreitet. Kommt es bei einem Zusammenstoß mit gleichartigen Wellenpaketen zu einer Wechselwirkung, bei der Energie ausgetauscht wird, so handelt es sich hierbei um eine solitäre Welle. Tritt kein Energieaustausch ein, so handelt es sich um ein Soliton.

Ein Wellenpaket besteht, wie mit Hilfe der Fourieranalyse gezeigt werden kann, aus mehreren Frequenzen. Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium bei verschiedenen Frequenzen unterschiedlich, so wird das Paket mit der Zeit breiter. Man nennt dies auch die Dispersion der Gruppengeschwindigkeit. Nichtlineare Effekte können nun die einzelnen Frequenzen, aus denen ein Wellenpaket besteht, ineinander umwandeln. Geschieht dies derart, dass die schnelleren Frequenzkomponenten in langsamere umgewandelt werden und langsamere in schnellere, so kann sich ein dynamisches Gleichgewicht ausbilden: ein Soliton.

Geschichte

Das Phänomen der Solitonen wurden erstmals 1834 von dem jungen Ingenieur John Scott Russell beschrieben. Russell ritt mehrere Kilometer neben einer etwa 10 Meter langen und etwa einen halben Meter hohen Wasserwelle, welche sich in einem engen schottischen Kanal ausbreitete, und beobachtete, dass sich deren Wellenform nur wenig veränderte.

Er erforschte das Phänomen weiter mit Hilfe eines Tanks in seiner Werkstatt. Dabei entdeckte er einige Schlüsseleigenschaften dieser Wellen:

• Die Wellen können sich stabil über lange Distanzen fortsetzen.
• Die Geschwindigkeit der Wellen hängt von der Größe der Welle und der Wassertiefe ab.
• Anders als normale Wellen vereinigen sie sich nicht. Eine kleine Welle wird von einer Größeren überholt.
• Wenn eine Welle zu groß für die Wassertiefe ist, teilt sie sich in zwei Wellen: eine Große und eine Kleine.

Es dauerte bis 1895, bevor das Phänomen auch theoretisch durch die Korteweg-de-Vries-Gleichung erklärt werden konnte, jedoch erst in den 1960ern wurde die Signifikanz der Entdeckung erkannt.

1973 wurde die Existenz von optischen Solitonen in Lichtwellenleitern theoretisch vorausgesagt und 1980 erstmals experimentell nachgewiesen.

Eigenschaften

Notwendige Voraussetzung für die Existenz von Solitonen sind

• eine nicht-lineare Wellengleichung und
• Dispersion.

Da es beliebig viele nichtlineare Gleichungen gibt, gibt es auch beliebig viele Arten von Solitonen.

Die wichtigste nicht-lineare Differentialgleichung im Zusammenhang mit Solitonen ist die Gross-Pitaevskii-Gleichung, die eine nicht-lineare Verallgemeinerung der Schrödinger-Gleichung darstellt. Die Gross-Pitaevskii-Gleichung wird beispielsweise für die Beschreibung von ultra-kalten Atomen und Molekülen oder Bose-Einstein-Kondensate benutzt. Die Nichtlinearität der Gross-Pitaevskii-Gleichung beruht auf der Berücksichtigung von Wechselwirkungen. Die Art der Wechselwirkung wird durch einen Faktor g bestimmt; für g < 0 ist sie anziehend, für g > 0 abstoßend. Man unterscheidet daher zwischen hellen Solitonen in anziehenden Medien und dunklen Solitonen in abstoßenden Medien.

Anwendung

Wenig intensive Lichtimpulse im Lichtwellenleiter sind Wellenpakete in einem linearen Medium. Sie werden aufgrund von Dispersion mit der Zeit kleiner und breiter. Dadurch verschlechtert sich die Signalqualität weil es zu Intersymbolinterferenz kommen kann und in Folge ist die maximal mögliche Übertragungsstrecke bzw. die Übertragungsrate beschränkt. Ein Soliton ist dagegen ein Lichtimpuls, der sich bei der Ausbreitung nicht verändert. Damit ist theoretisch eine Nachrichtenübertragung über beliebig weite Strecken möglich, bei genügend kurzen Lichtimpulsen kann eine sehr hohe Datenübertragungsrate erreicht werden. In Lichtwellenleitern lassen sich Solitonen im Bereich anomaler Dispersion der Gruppengeschwindigkeit (die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist hier bei höheren Frequenzen größer) erzeugen – also bei herkömmlichen Glasfasern bei Wellenlängen von $\lambda &amp;gt; 1,3\,\mu m$. Hierzu ist nur eine Leistung von wenigen Milliwatt erforderlich. Die Pulsdauer beträgt einige Picosekunden, was Übertragungsraten im Bereich von Terabits/Sekunde (10¹² bit/s) über weite Strecken ermöglicht. In realen Medien existieren Dämpfung und Streuverluste, was zu einer Abnahme der Energie führt. Dies zerstört das Gleichgewicht zwischen Dispersion und Nichtlinearität, so dass sich das Soliton auflöst. In realen Datenübertragungssystemen muss man folglich die Solitonen immer wieder (ca. alle 20 km) nachverstärken.

Bei Versuchen in Glasfaserringen wurden Solitonen bereits über 180 Millionen Kilometer ohne merkliche Pulsverbreiterung übertragen.

Solitonartige Anregungen gibt es, zusätzlich zu den üblichen Spinwellen, auch in niederdimensionalen Magneten. Sie werden sowohl theoretisch als auch experimentell seit langem ausführlich untersucht.

Weitere Beispiele für Solitonen

• Pororoca (Solitonen auf dem Amazonas)
• Morning Glory Cloud
• Tsunamis
• Eigenzustände in der Elementarteilchenphysik
• Erregungsleitung in Nervenzellen
• solitäre Gravitationswellen

Solitonengleichungen aus der mathematischen Physik

Folgende Gleichungen sind einige Beispiele von Gleichungen der mathematischen Physik:

• Korteweg-de-Vries-Gleichung
• Nichtlineare Schrödinger-Gleichung
• Toda-Kette

Es gibt noch einige weitere Beispiele, wie die modifizierte Korteweg-de-Vries-Gleichung, sowie ganze Hierarchien von Gleichungen, die aus diesen abgeleitet werden.

Literatur

• A. C. Scott, F. Y. F. Chu, D. W. McLaughlin: Soliton: A new concept in applied science. In: Proceedings of the IEEE. 61, 1973, Nr. 10, S. 1443–1482.
• Hans-Jürgen Mikeska, M. Steiner: Solitary excitations in one-dimensional magnets. In: Advances in Physics. 40, 1991, Nr. 3, S. 191–356.
• A. V. Buryak, P. Di Trapani, D. V. Skryabin, S. Trillo: Optical solitons due to quadratic nonlinearities: From basic physics to futuristics applications. In: Physics Reports. 370, 2002, Nr. 2, S. 63–235.
• R. Meinel, G. Neugebauer u. H. Steudel: Solitonen - Nichtlineare Strukturen. Akademie Verlag, Berlin 1991. ISBN 3-05-500710-7

Weblinks

• Universität Rostock: Datenübertragung mit Solitonen