Statistische Versuchsplanung

Die statistische Versuchsplanung (englisch design of experiments, DOE) wird bei Entwicklung und Optimierung von Produkten oder Prozessen eingesetzt.

Da Versuche Ressourcen benötigen (Personal, Zeit, Geräte usw.), sieht sich der Versuchsverantwortliche in einem Zwiespalt zwischen einerseits der Genauigkeit und Zuverlässigkeit seiner erwarteten Ergebnisse und andererseits dem dazu notwendigen Aufwand. Der Begriff „Versuch“ schließt neben materiellen Versuchen auch Rechnersimulationen mit ein. Mit der statistischen Versuchsplanung wird mit möglichst wenigen Versuchen (Einzelexperimenten) der Wirkzusammenhang zwischen Einflussfaktoren (= unabhängige Variablen) und Zielgrößen (= abhängige Variable) möglichst genau ermittelt.

Versuchspläne

Im Gegensatz zur „althergebrachten“ Vorgehensweise, bei der in einer Versuchsreihe jeweils nur ein Faktor variiert wird, werden bei der statistischen Versuchsplanung mehrere Faktoren gleichzeitig verändert. Es werden sogenannte Versuchspläne erstellt, die Folgendes berücksichtigen:

• Anzahl der zu untersuchenden Faktoren (mind. 2)
• Art der zu untersuchenden Faktoren (nominal (= qualitativ) oder quantitativ)
• Bestehende Informationen
• Gewünschte Genauigkeit/Zuverlässigkeit der Aussagen

Klassische Pläne in der Versuchsplanung sind vollständige Versuchspläne, Teilfaktorpläne (sogenannte Screening-Pläne) und Response-Surface-Pläne. Mit Screening-Plänen kann mit relativ wenigen Versuchen der Einfluss vieler Faktoren gleichzeitig untersucht werden, um zu erkennen, welche der Faktoren signifikant sind, d. h. wirklich die Ausgangsvariablen verändern. Mit Response-Surface-Plänen kann der Zusammenhang zwischen den wenigen wichtigen Faktoren und den Zielgrößen dann im Detail untersucht werden, um optimale Einstellungen der Faktoren zu ermitteln.

Auswertung

Bei nominalen (kategorischen, qualitativen) Faktoren erfolgt die Auswertung mit Hilfe der Varianzanalyse. Bei quantitativen (metrischen) Faktoren erfolgt die Auswertung mit Hilfe der Regressionsanalyse. Am häufigsten werden Regressionsmodelle verwendet, die auf einer Linearkombination von Basisfunktionen beruhen:

• Lineares Modell ohne Wechselwirkungen (y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ bei drei Faktoren)
• Lineares Modell mit Wechselwirkungen (y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + a₄x₁x₂ + a₅x₁x₃ + a₆x₂x₃ bei drei Faktoren)
• Quadratische (selten kubische) Modelle mit Wechselwirkungen ($y=a_0 + a_1x_1 + a_2x_1^2+ a_3x_2 + a_4x_2^2 + a_5x_3 + a_6x_3^2 + a_7 x_1x_2 + a_8 x_1x_3 + a_9 x_2x_3$ bei drei Faktoren)

Diese Modelle kann man als Taylor-Entwicklungen bis zum Grad n = 1 bzw. n = 2 auffassen. Die Modellparameter a_i werden so bestimmt, dass die Abweichungen zwischen Daten und Modell möglichst klein sind (meist wird die Summe der quadrierten Abweichungen minimiert).

Kennt man die tatsächliche Form des funktionalen Zusammenhangs zwischen Faktoren und Zielgrößen, so kann man die Parameter in dieser Funktion mit nichtlinearer Regression anpassen.

Software zur statistischen Versuchsplanung

Viele der großen kommerziellen Statistikpakete besitzen auch ein Modul zur statistischen Versuchsplanung. Es gibt allerdings auch spezielle Software, die dem statistisch nicht so versierten Benutzer die Durchführung der Planung und der Auswertung erleichtert. Dies geschieht natürlich auf Kosten der Flexibilität. Möglich ist dies beispielsweise mit Design Expert, Minitab, STATISTICA, oder Visual-XSel.

Daneben enthalten verschiedenartige Simulationspakete oft speziell zugeschnittene Programme oder Module zur statistischen Versuchsplanung.

Literatur

Englische Standardwerke (Auswahl):

• George E. P. Box, J. Stuart Hunter, William G. Hunter: Statistics for Experimenters. Design, Innovation, and Discovery. 2. Auflage. Wiley & Sons, Hoboken NJ 2005, ISBN 0-471-71813-0 (Wiley Series in Probability and Statistics).
• Gertrude M. Cox, William G. Cochran: Experimental Designs. Wiley u. a., New York NY 1950 (Wiley Publications in Statistics), (2nd Edition, 34th Printing. ebenda 1992, ISBN 0-471-16203-5).
• Angela Dean, Daniel Voss: Design and Analysis of Experiments. 6th printing. Springer, Berlin u. a., 2008, ISBN 978-0-387-98561-9 (Springer Texts in Statistics).
• Douglas C. Montgomery: Design and Analysis of Experiments. International Student Version. 7. Auflage. Wiley & Sons, New York NY 2008, ISBN 978-0-470-39882-1.
• Raymond H. Myers, Douglas C. Montgomery, Christine M. Anderson-Cook: Response Surface Methodology. Process and Product Optimization Using Designed Experiments. 3. Auflage. Wiley & Sons, Hoboken NJ 2009, ISBN 978-0-470-17446-3 (Wiley Series in Probability and Statistics).

Deutsche Einführung (Auswahl):

• Hans Bandemer, Andreas Bellmann: Statistische Versuchsplanung. 4. neubearbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 1994, ISBN 3-8154-2079-2 (Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler).
• H. Bandemer (Hrsg.): Theorie und Anwendung der optimalen Versuchsplanung. Band 1. Akademie-Verlag, Berlin 1977 (Mathematische Lehrbücher und Monographien. 2. Abteilung: Mathematische Monographien 47).
• Hans Bandemer, Wolfgang Näther: Theorie und Anwendung der optimalen Versuchsplanung. Band 2. Akademie-Verlag, Berlin 1980 (Mathematische Lehrbücher und Monographien. 2. Abteilung: Mathematische Monographien 48).
• Klaus Hartmann (Hrsg.): Statistische Versuchsplanung und -auswertung in der Stoffwirtschaft. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1974.
• Gerd F. Kamiske (Hrsg.): Qualitätstechniken für Ingenieure. 2. überarbeitete Auflage. Symposion Publishing, Düsseldorf 2009, ISBN 978-3-939707-62-2.
• Bernd Klein: Versuchsplanung - DoE. Einführung in die Taguchi/Shainin-Methodik. 2. korrigierte und erweiterte Auflage. Oldenbourg, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-58352-6.
• Wilhelm Kleppmann: Taschenbuch Versuchsplanung. Produkte und Prozesse optimieren. 6. überarbeitete Auflage. Hanser, München u. a. 2009, ISBN 978-3-446-42033-5 (Praxisreihe Qualitätswissen).
• Volker Nollau: Statistische Analysen. Mathematische Methoden der Planung und Auswertung von Versuchen. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 1979, ISBN 3-7643-1019-7 (Lehr- und Handbücher der Ingenieurwissenschaften 37).
• Harro Petersen: Grundlagen der Statistik und der statistischen Versuchsplanung. Band 1–2. ecomed, Landsberg/Lech 1991, ISBN 3-609-65330-2 (Bd. 1), ISBN 3-609-65340-X (Bd. 2).
• Dieter Rasch, G. Herrendörfer, J. Bock, K. Busch: Verfahrensbibliothek. Versuchsplanung und Auswertung. Band 1–3. Deutscher Landwirtschaftsverlag, Berlin 1978–1981.
• Dieter Rasch, Volker Guiard, Gerd Nürnberg: Statistische Versuchsplanung. Einführung in die Methoden und Anwendung des Dialogsystems CADEMO. G. Fischer Verlag, Stuttgart u. a. 1992, ISBN 3-437-40247-1.
• Eberhard Scheffler: Einführung in die Praxis der statistischen Versuchsplanung. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1974.
• Holger Wilker: Systemoptimierung in der Praxis. Band 1, Teil 1: Leitfaden zur statistischen Versuchsauswertung. Books on Demand GmbH, Norderstedt 2006, ISBN 3-8334-4551-3.
• Holger Wilker: Systemoptimierung in der Praxis. Band 1, Teil 2: Leitfaden zur statistischen Versuchsauswertung. Books on Demand GmbH, Norderstedt 2006, ISBN 3-8334-6306-6.