Steinersche Flächen

Römische Fläche

Steinersche Flächen sind in der Projektiven Geometrie spezielle Flächen, auf denen Scharen von Kegelschnitten liegen. Sie sind nach Jakob Steiner (1796-1863) benannt, der sie 1838 bei seinem Aufenthalt in Rom fand. Spezielle Steinerflächen werden deshalb auch Römerflächen genannt. Die Steinerschen Flächen sind von Ernst Eduard Kummer und Karl Weierstraß weiter untersucht worden. Eine Steinerfläche ist eine durch quadratische Polynome $\,p_i = Au^2 + Buv + Cv^2 + Du + Ev + F$ (i= 0, 1,2,3) in zwei Variablen u,v gegebene Fläche im dreidimensionalen Raum:

$\,(x,y,z)=(\frac{p_1}{p_0}, \frac{p_2}{p_0}, \frac{p_3}{p_0})$

In affinen Koordinaten ist sie durch eine Gleichung höchstens vierten Grades gegeben.

Dahinter steckt folgende Konstruktion. Man bettet die reelle projektive Ebene, gegeben durch homogene Koordinaten $\,(u_0, u_1, u_2)$, in den projektiven 5 dimensionalen Raum ein, mit homogenen Koordinaten (Veronese-Fläche):

$(u_0^2, u_1^2, u_2^2, u_1 u_2, u_0 u_2, u_0 u_1)$

Dann projiziert man durch Multiplikation mit einer 6 x 4 Matrix auf den vierdimensionalen Raum, was vier Linearkombinationen der oben angegebenen sechs homogenen Koordinaten ergibt: $\, (p_0, p_1, p_2, p_3)$. Als homogene Koordinaten des dreidimensionalen projektiven Raums aufgefasst (bei diesem Übergang entstehen Singularitäten der Fläche) ergibt sich die oben angegebene Darstellung der Steinerfläche.

Beispiele

Die Römische Fläche von Steiner ist durch

$(p_0, p_1, p_2, p_3)= (u_0^2 + u_1^2 + u_2^2, u_1 u_2, u_0 u_2, u_0 u_1)$

gegeben. Die Darstellung ist homogen in den u_i, so dass sich leicht weitere Parametrisierungen ergeben, wenn man mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert (siehe unten). Sie hat drei Doppel-Linien, sechs Verzweigungspunkte und einen Dreifachpunkt. Die drei Doppellinien, an denen sich die Fläche selbst durchdringt, treffen sich im Dreifachpunkt. Die Fläche ist nicht orientierbar (das heißt einseitig wie das Möbiusband), genauso wie die projektive Ebene, deren Einbettung in den dreidimensionalen Raum sie gemäß obiger Konstruktion darstellt^[1]. In affinen Koordinaten hat sie die Gleichung:

$\,x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 -xyz =0$

Weitere Parametrisierungen der Gleichung sind gegeben durch:

$x=\frac{s}{1+s^2+t^3}$

$y=\frac{s\cdot t}{1+s^2+t^3}$

$z=\frac{t}{1+s^2+t^3}$

was sich durch Ausnutzung der Homogenität der Darstellung in der Form $(\frac {p_1}{p_0}, \frac {p_2}{p_0}, \frac {p_3}{p_0})$ ergibt, und

$x=\cos(u)\cdot\sin(u)\cdot\cos(v)^2$

$y=\sin(u)\cdot\cos(v)\cdot\sin(v)$

$z=\cos(u)\cdot\cos(v)\cdot\sin(v)$

Sie ergibt sich aus der Parametrisierung der Einheitssphäre

(x,y,z) = (cos(u)cos(v),sin(u)cos(v),sin(v))

und der Abbildung $(x,y,z) \rightarrow ( xy, yz , xz) = (\cos (u) \sin (u) {\cos (v)}^2, \sin (u) \cos (v) \sin (v), \cos (u) \cos (v) \sin (v))$

Die Kreuzkappe ist gegeben durch:

$(p_0, p_1, p_2, p_3)= (u_0^2 + u_1^2 + u_2^2, u_1 u_2, 2 u_0 u_1, u_0^2- u_1^2)$

In affinen Koordinaten:

$\,4 x^2 (x^2 +y^2+ z^2 +z) +y^2 (y^2 +z^2 -1) =0$

Coffman, Schwartz und Stanton klassifizierten die möglichen Steinerflächen in 10 Typen.

Literatur

• A. Coffman, A. Schwartz, and C. Stanton: The Algebra and Geometry of Steiner and other Quadratically Parametrizable Surfaces. In Computer Aided Geometric Design (3) 13 (April 1996), S. 257-286
• Bert Jüttler, Ragni Piene: Geometric Modeling and Algebraic Geometry. Springer 2008, ISBN 9783540721840, S. 30ff (eingeschränkte Online-Version in der Google Buchsuche-USA)
• Steinersche Fläche. In Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 18. Leipzig 1909, S. 900.

Weblinks

• Coffman Steiner Surfaces, englisch
• Eric W. Weisstein: Steiner Surface. In: MathWorld. (englisch)
• Roman Surfaces in der National Curve Bank (Webseite der California State University)
• Wolfram Mathworld Roman Surface

Verweise

1. ↑ Eine weitere Einbettung der projektiven Ebene ist durch die Boysche Fläche gegeben, die keine Steinersche Fläche ist