Steinerscher Satz

Der Steinersche Satz (auch Steiner’scher Satz, Satz von Steiner oder Steiner-Regel genannt) geht auf Untersuchungen von Jakob Steiner zurück. Er eignet sich dazu, die Trägheitsmomente oder den Drehimpuls eines starren Körpers bezüglich einer Rotation um eine Drehachse zu berechnen, die nicht durch den Massenmittelpunkt des Körpers verläuft.

Wenn sich die Gravitation über die Ausdehnung des Körpers nicht ändert, fällt der Massenmittelpunkt mit dem Schwerpunkt zusammen. Dies ist bei realen Anwendungen in sehr guter Näherung der Fall.

Der Steinersche Satz sagt aus, dass das Trägheitsmoment eines starren Körpers bezüglich einer beliebigen Drehachse sich als Summe von zwei Trägheitsmomenten schreiben lässt. Der erste dieser beiden Summanden, J_Schwerpunkt, ist das Trägheitsmoment eines Massepunktes mit der Masse des Körpers am Schwerpunkt des Körpers bezüglich der Drehachse. Der zweite Summand $J_\mathrm{K\ddot orper}$ ist das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich einer Achse, die parallel zur Drehachse liegt.

$J = J_\mathrm{Schwerpunkt} + J_\mathrm{K\ddot orper}$

Auf diese Weise wird der Einfluss der genauen Form des Körpers von der Abhängigkeit von der Lage der Achse getrennt.

Der Satz wird auch verwendet, um Flächenträgheitsmomente von Balken-Querschnitten zu bestimmen.

Anwendung auf Trägheitsmomente

Die tabellarischen Trägheitsmomente sind nur dann gültig, wenn die Drehachse der geometrischen Achse des Körpers entspricht, das heißt durch den Schwerpunkt geht. Andernfalls kann der Steinersche Satz angewendet werden und das Trägheitsmoment J ergibt sich zu:

$J = J_\mathrm{K\ddot orper} + m \cdot l^2$

Dabei ist $J_\mathrm{K\ddot orper}$ wie oben, das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich der Drehachse, die durch den Schwerpunkt geht und parallel zur tatsächlichen Drehachse liegt. m ist die Masse des Körpers und l der Abstand zwischen den parallelen Achsen.

Bei Anwendung des Steinerschen Satzes ist zweierlei zu beachten:

• Das Massenträgheitsmoment eines Körpers ist dann am geringsten, wenn die Drehachse durch den Schwerpunkt geht. Das folgt daraus, dass der Steinersche Anteil stets positiv ist, wenn man eine Verschiebung vom Schwerpunkt weg durchführt.
• Andererseits kann man mit Hilfe des Steinerschen Satzes auch das Massenträgheitsmoment berechnen, wenn das Trägheitsmoment durch eine beliebige Achse gegeben ist.

Anwendung auf Flächenträgheitsmomente

Liegt der Flächenschwerpunkt eines Körper-Querschnitts nicht im Ursprung des Koordinatensystems, kann sein Flächenträgheitsmoment mit dem Steinerschen Satz berechnet werden:

$J_{\bar y \bar y} = J_{yy} + \bar z^2_S \cdot A$

$J_{\bar z \bar z} = J_{zz} + \bar y^2_S \cdot A$

$J_{\bar y \bar z} = J_{yz} + \bar y_S \cdot \bar z_S \cdot A$

Für J_y wird der Abstand des Flächenschwerpunktes zum Ursprung $\bar z_S$ quadriert, mit der Fläche des Querschnitts A multipliziert und auf das (tabellarisch erfasste) Flächenträgheitsmoment addiert. Es ist ersichtlich, dass bei z = 0 der Steiner-Term wegfällt.

Praktisch ist, dass man mit diesen Formeln komplexe (z. B. T-Träger) in einfache Körper (z. B. Rechtecke) aufteilen kann, deren Flächenträgheitsmoment bereits bekannt ist.

Für J_y gilt dann beispielsweise:

$J_y = \int_{A} z^2 \cdot \mathit{d}A = \int_{A_1} z^2 \cdot \mathit{d}A + \int_{A_2} z^2 \cdot \mathit{d}A + \dots + \int_{A_n} z^2 \cdot \mathit{d}A = J_{\bar y1} + J_{\bar y2} + \dots + J_{\bar yn}$,

wobei A die Fläche der Figur ist und A₁ bis A_n die durch die Zerlegung entstandenen Teilflächen sind.

Verallgemeinerung durch Trägheitstensoren

Ist der Trägheitstensor im Schwerpunkt I^(S) bekannt, ergibt sich der Trägheitstensor I im durch den Vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}$ parallel verschobenen Koordinatensystem durch die Summe aus I^(S) und dem Trägheitstensor eines Massepunktes der Masse m mit dem Ortsvektor $\vec{a}$:

$I_{ij}=I^{(S)}_{ij} + m (\sum a_k^2\delta_{ij}-a_ia_j)$

d.h.:

$I=I^{(S)} + m \begin{pmatrix} a_2^2+a_3^2 & -a_1a_2 & -a_1a_3 \\ -a_1a_2 & a_1^2+a_3^2 & -a_2a_3 \\ -a_1a_3 & -a_2a_3 & a_1^2+a_2^2\end{pmatrix}$

Durch die Verschiebung kann es vorkommen, dass die Achsen des neuen Koordinatensystems nicht mehr mit den Hauptträgheitsachsen durch den neuen Punkt zusammenfallen.

Quellen

Technische Mechanik; Alfred Böge