Stieltjesintegral

In der Integralrechnung bezeichnet das Stieltjesintegral eine wesentliche Verallgemeinerung des Riemannintegrals oder eine Konkretisierung des Integralbegriffs von Lebesgue. Benannt wurde es nach dem niederländischen Mathematiker Thomas Jean Stieltjes (1856-1894). Das Stieltjesintegral, für den der Begriff des Integrators grundlegend ist, findet Anwendung auf vielen Feldern, insbesondere in der Physik und der Stochastik.

Das Riemann-Stieltjes-Integral für monotone Integratoren

Es seien $[a,b] \ne \emptyset$ ein reelles Intervall und $f,h\colon [a,b] \to \R$ zwei Funktionen. Dabei wird vorausgesetzt, dass f, der Integrand, beschränkt ist und h, der Integrator, (nicht notwendigerweise streng) monoton wächst. Das dazugehörige Riemann-Stieltjes-Integral von f bezüglich h auf dem Intervall [a,b] wird wie das Riemannintegral über feine Zerlegungen des Intervalls oder über Ober- und Untersummen (siehe dort) definiert. Jedoch lauten die Formeln für die Ober- und Untersumme bei Stieltjes-Integralen statt

$\overline{S_N} = \sum_{i=1}^N \sup \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(t_i-t_{i-1})$ (Obersumme) und

$\underline{S_N} = \sum_{i=1}^N \inf \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(t_i-t_{i-1})$ (Untersumme)

nun

$\overline{S_N} = \sum_{i=1}^N \sup \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(h(t_i)-h(t_{i-1}))$ (Stieltjes-Obersumme) und

$\underline{S_N} = \sum_{i=1}^N \inf \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\}\cdot(h(t_i)-h(t_{i-1}))$ (Stieltjes-Untersumme).

Konvergieren Ober- und Untersumme für hinreichend feine Zerlegungen gegen denselben Wert, so heißt $f\!\,$ bezüglich $h\!\,$ auf $[a,b]\!\,$ Riemann-Stieltjes-integrierbar und der gemeinsame Grenzwert wird als Wert des Integrals bezeichnet. Die Schreibweise hierfür ist

$\int_a^b f\,\mathrm dh\quad\text{oder}\quad\int_a^b f(t)\,\mathrm dh(t).$

Der Integrator h regelt also, wie stark f an verschiedenen Stellen gewichtet wird. Statt Integrator ist deshalb auch die Bezeichnung Gewichtsfunktion üblich. Offensichtlich kann das gewöhnliche Riemannintegral nun als Spezielfall des Riemann-Stieltjes-Integrals mit h(x) = x für alle x (Identität) aufgefasst werden.

Das Riemann-Stieltjes-Integral existiert z. B. bei stetiger Funktion f selbst mit der Cantor-Funktion als Integrator (das ist eine monoton von 0 auf 1 wachsende Funktion, die fast überall konstant ist, nämlich bis auf eine überabzählbare Nullmenge).

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral ist ein Spezialfall des Lebesgue-Integrals. Hierbei wird über ein Borel-Maß μ integriert, das im Fall des Lebesgue-Stieltjes-Integrals durch die monotone Funktion h definiert wird und im Folgenden mit μ_h bezeichnet wird. Das Maß μ_h ist festgelegt durch seine Werte auf Intervallen:

$\begin{align} \mu_h([x,y[)& =h(y-)-h(x-),\\ \mu_h([x,y])& =h(y+)-h(x-) \end{align}$

Hier bezeichnet h(y − ) den linksseitigen und h(y + ) den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion h an der Stelle y. Ist h die Identität, so handelt es sich um das Lebesgue-Maß. Ist f bezüglich dieses Maßes μ_h Lebesgue-integrierbar, so definiert man das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral als

$\int_a^b f\,\mathrm dh =\int_a^b f\,\mathrm d\mu_h,$

wobei die rechte Seite als gewöhnliches Lebesgue-Integral aufzufassen ist.

Nicht-monotone Integratoren

Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher Variation auf [a,b]. Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also h = h₁ − h₂ wobei $h_1, h_2\colon [a,b] \to \R$ monoton wachsend sind. Das zugehörige Stieltjes-Integral (wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne) ist dann definiert als

$\int_a^b f\,\mathrm dh := \int_a^b f\,\mathrm dh_1 - \int_a^b f\,\mathrm dh_2.$

Es kann gezeigt werden, dass diese Definition sinnvoll, d. h. wohldefiniert (also unabhängig von der speziellen Wahl der Zerlegung) ist.

Eigenschaften

• Falls zu $f\,\!, h\,\!$ und $[a,b]\,\!$ das Riemann-Stieltjes-Integral existiert, so existiert auch das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral und die beiden Werte stimmen überein.

• Wie das Riemann- und das Lebesgue-Integral ist auch das Stiltjes-Integral linear im Integranden:

  $\int_a^b (\alpha f + \beta g) \, \mathrm dh = \alpha \int_a^b f\,\mathrm dh + \beta \int_a^b g \,\mathrm dh$

für Konstanten $\alpha,\beta \in \R$, falls die betrachteten Integrale existieren.

• Weiterhin ist das Stieltjes-Integral auch linear im Integrator, also

  $\int_a^b f\,\mathrm d(\alpha g + \beta h) = \alpha \int_a^b f\,\mathrm dg + \beta \int_a^b f\,\mathrm dh$

für Konstanten $\alpha,\beta \in \R$ und Funktionen g,h endlicher Variation.

• Das Integral ist invariant unter Translationen des Integrators, also

  $\int_a^b f\,\mathrm d(h+c) =\int_a^b f\,\mathrm dh$

für Konstanten c.

• Treppenfunktionen als Integratoren: Ist f stetig und h eine Treppenfunktion, die in den Punkten $t_1, \ldots, t_n \in\,]a,b[$ Sprünge der Höhe $\Delta h_1, \ldots, \Delta h_n \in \R$ besitzt, so gilt

  $\int_a^b f\,\mathrm dh = \sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta h_i.$

• Ist h stetig differenzierbar, so gilt

  $\int_a^b f(x)\,\mathrm dh(x) = \int_a^b f(x) h'(x)\,\mathrm dx.$

(Im Lebesgueschen Sinne: $h\!\,'$ ist die Dichte von μ_h.)

• Ist h absolut stetig, so ist h fast überall differenzierbar, die Ableitung h' ist integrierbar und es gilt auch hier:

  $\int_a^b f(x)\,\mathrm dh(x) = \int_a^b f(x) h'(x)\,\mathrm dx.$

Literatur

I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Harri Deutsch Thun-Verlag, ISBN 3-87-144-217-8