Stromdichte

Physikalische Größe
Name	Elektrische Stromdichte; Leitungsstromdichte
Formelzeichen der Größe	$\vec J$, $\vec j$, $\vec S$
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI A·m-2 I·L-2

Die Stromdichte kennzeichnet die Verteilung des Stromes im Leiter und dient als Maß für seine elektrische Belastbarkeit. Sie ist definiert über das Verhältnis der Stromstärke I zur Querschnittsfläche A, innerhalb derer ein elektrischer Strom durchtritt.

Ein Leiter erwärmt sich umso mehr, je größer die Stromdichte J ist.

Als Formelzeichen für die Stromdichte werden in Deutschland J, j und S verwendet.

Klassische Definition

Beziehung zwischen Strom und Stromdichte

Allgemein gilt:

$I = \int_A \vec J \cdot \mathrm{d}\vec A$^[1]

Damit lässt sich die Stromdichte schreiben als:

$\vec J = nq\vec{v_d}= \rho_\mathrm{el} \vec{v_d} = \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} V} \frac{\mathrm{d} \vec x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d} \vec x}{\mathrm{d} V} = I \frac{\mathrm{d} \vec x}{\mathrm{d} V}$

Wobei

I der elektrische Strom,

A die durchflossene Fläche (und zwar als der Vektor, der senkrecht auf A steht und die Länge des Betrags der Fläche von A hat),

n die Anzahl der Ladungsträger pro Einheitsvolumen [n] = 1/m³,

q die Ladung eines einzelnen Ladungsträgers,

v_d die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger,

$\rho_\mathrm{el}(\vec r) = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}V}$ die Ladungsdichte,

Q die Gesamtladung im Volumen,

V das zu betrachtende Volumen,

$\vec x$ der Ort,

t die Zeit

sind.

Die Stromdichte ist also eine vektorielle Größe, deren Richtung mit der des Geschwindigkeitsvektors v_d der Ladungsträger übereinstimmt.

Bei räumlich konstanter Stromdichte vereinfacht sich die Definition zu $I=\vec J \cdot \vec A$. Das Skalarprodukt reduziert sich im Rahmen einfacher Modellrechnungen bei senkrecht durchflossener Fläche (wie im Bild) zu einer gewöhnlichen Multiplikation: I = JA.

Folgerungen aus der Definition

Der Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischer Feldstärke heißt ohmsches Gesetz und lautet $\vec J=\sigma\cdot \vec E$, wobei σ die elektrische Leitfähigkeit (engl: conductivity) des umgebenden Mediums ist und $\vec E$ die elektrische Feldstärke .

Mit Hilfe des Gaußschen Satzes

$\oint \vec J\cdot\mathrm{d}\vec A = \int \operatorname{div}\vec J\mathrm{d}V$

erhält man die Kontinuitätsgleichung

$\operatorname{div} \vec J(\vec x, t) = -\frac{\partial}{\partial t}\rho_\mathrm{el}(\vec x,t)$,

die besagt, dass Ladungen weder erzeugt, noch vernichtet werden können.

Die vektoriell ausgedrückte Stromdichte findet sich angewandt zum Beispiel in den Maxwellgleichungen.

Flächenstromdichte und Linienstrom

Analog zur Stromdichte in einem Körper lässt sich die Stromdichte auch auf zweidimensionale Flächen beziehen. Diese Annahme ist sinnvoll, wenn man etwa die Oberflächenleitung von elektrischen Leitern beschreiben will. Der Gesamtstrom I ist die Summe der einzelnen Flächenströme. Die Flächenstromdichte K erhält man durch Bezug des gesamten Stromes auf die Breite b der einzelnen Fläche:

$K=\frac{I}{b}$

Die elektrische Stromstärke kann darüber hinaus auch als Summe von Linienströmen in einem Punkt betrachtet werden, woraus auch die erste Kirchhoffsche Regel folgt:

$I(P)=\sum_l I_l\,$

Beispiel 1

Wenn homogene Querschnittsverhältnisse vorliegen und der Strom I die Fläche A unter einem Winkel von 90° durchsetzt, gilt vereinfacht:

$J = \frac{I}{A}$

Die Stromdichte J beträgt bei einem Strom der Stromstärke I von 1 A (Ampere) innerhalb eines Leiters mit der Querschnittsfläche A von 10 mm²

$J = \frac{I}{A} = \frac{1\ \mathrm{A}}{10\ \mathrm{mm^2}} = 0{,}1\ \mathrm{A \over mm^2}$

Ein technisch wichtiger Stromleiter ist Kupfer. Die Stromdichte wird im allgemeinen auf 6 A/mm² ausgelegt, damit unter Dauerlast keine unzulässige Erhitzung vorkommt. Aufgrund der mit dem Stromfluss verbundenen Wärmeerzeugung und dem somit steigenden Widerstand, ist die maximale Stromdichte begrenzt, kurzzeitig kann sie jedoch beliebig hoch werden. In Schmelzsicherungen wird die Erhitzung genutzt, um den Strom zu unterbrechen. Nach VDE 0100 beträgt der maximale Strom von Leitern 13 A bei einer Querschnittsfläche von 0,75 mm², 16 A bei 1,0 mm² sowie 27 A bei 2,5 mm².

In der Galvanotechnik bezeichnet die Stromdichte den elektrischen Strom pro Flächeneinheit, der für die Beschichtung eingestellt wird. Die übliche Einheit ist hier A/dm², weil sich dadurch kleine, anschauliche Zahlen zwischen 0,5 und 5 ergeben. Verfahrensspezifisch gibt es typische Stromdichten, die eingehalten werden müssen, um z.B. bei einer Verzinkung oder Vernickelung gute Ergebnisse zu erhalten.

Beispiel 2

Auch bei Brennstoffzellen spielt die Stromdichte eine entscheidende Rolle. In einer Brennstoffzelle wird in einer Flächenreaktion chemische Energie elektrochemisch in elektrische Energie (elektrischen Strom I) und Wärme umgewandelt. Um die Leistung von Brennstoffzellen mit unterschiedlicher aktiver Fläche besser miteinander vergleichen zu können, wird der von der Zelle produzierte elektrische Strom durch die aktive Fläche geteilt. Das Ergebnis ist die Stromdichte J:

$J = \frac{I}{A} = \frac{100\ \mathrm{A}}{200\ \mathrm{cm^2}} = 0{,}5\ \mathrm{A \over cm^2}$

Definition in der Quantenfeldtheorie

Hauptartikel: Wahrscheinlichkeitsstromdichte

Die Stromdichte in einem komplexen Skalarfeld φ ist definiert durch:

$J^\mu = i \left( \varphi^\dagger \partial^\mu \varphi-\partial^\mu \varphi^\dagger \varphi \right)$

Literatur

• H. Lindner, H. Brauer, C. Lehmann: Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik. 8., neu bearbeitete Auflage, Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München 2004, ISBN 3-446-22546-3.

Einzelnachweise

1. ↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik