Symplektischer Raum

Ein symplektischer Raum ist in der linearen Algebra ein Vektorraum zusammen mit einer symplektischen Form, das heißt einer nichtausgearteten alternierenden Bilinearform. Während die symmetrische Bilinearform "Skalarprodukt" die Länge von Vektoren misst, betrifft die alternierende Bilinearform die Flächengröße des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Ein symplektischer Raum über einem Körper K ist ein Vektorraum V zusammen mit einer Bilinearform $\langle{-},{-}\rangle\colon V\times V\to K$, die die folgenden beiden Eigenschaften besitzt:

• $\langle{-},{-}\rangle$ ist alternierend, das heißt $\langle v,v\rangle=0$ für alle $v\in V$
• $\langle{-},{-}\rangle$ ist nicht ausgeartet, das heißt für jedes $0\ne v\in V$ existiert ein $w\in V$ mit $\langle v,w\rangle\ne0\,.$

Eine Bilinearform mit diesen beiden Eigenschaften wird auch symplektische Form genannt. Wegen

$0=\langle v+w,v+w\rangle=\langle v,v\rangle+\langle v,w\rangle+\langle w,v\rangle+\langle w,w\rangle=\langle v,w\rangle+\langle w,v\rangle$

wechselt die alternierende Form bei Vertauschung ihrer Argumente ihr Vorzeichen.

Hyperbolische Ebenen

Das einfachste Beispiel für einen symplektischen Raum bilden hyperbolische Ebenen: Ist V zweidimensional mit Basis {v,w}, und gilt $\langle v,w\rangle=1$, so heißt V oder das Tripel (V,v,w) eine hyperbolische Ebene. Es gilt dann

$\langle av+bw,cv+dw\rangle=ad-bc.$

Klassifikation symplektischer Räume

Jeder endlichdimensionale symplektische Vektorraum hat gerade Dimension 2n, und es gibt eine Basis $\{e_1,\ldots,e_n,f_1,\ldots,f_n\}$ mit

$\langle e_i,e_j\rangle = 0$

$\langle f_i,f_j\rangle = 0$

$\langle e_i,f_j\rangle = \delta_{ij}$ (Kronecker-Symbol).

Insbesondere sind alle symplektischen Räume der Dimension 2n isometrisch. e_i und f_i spannen für jedes i eine hyperbolische Ebene auf, der ganze symplektische Raum ist also eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen. In der Physik werden die Elemente e_i und f_i als „kanonisch-konjugiert“ bezeichnet (z.B. Orts- bzw. Impuls-Variablen) und das symplektische Skalarprodukt ist identisch mit der sogenannten Poisson-Klammer.

Die Automorphismen eines symplektischen Raumes bilden die symplektische Gruppe.

Beispiel

Ist B( − , − ) ein hermitesches Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum V, so ist $\langle v,w\rangle=\mathrm{Im}\,B(v,w)$ eine symplektische Form auf V (als reeller Vektorraum aufgefasst).

Anwendungen

Symplektische Räume sind die Grundlage für den Begriff der symplektischen Mannigfaltigkeit, der eine Rolle im Hamilton-Formalismus spielt, siehe das Buch von Arnold.

Literatur

• Arnold, V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-96890-3
• Berndt, R.: An Introduction to Symplectic Geometry. AMS, Providence 2001. ISBN 0-8218-2056-7
• Lang, S.: Algebra. Springer, New York 2002. ISBN 0-387-95385-X. Chapter XV, §8