Bandgap-Referenz

Als Bandabstandsreferenz bezeichnet man eine Referenzspannungsquelle, deren Ausgangsspannung in temperaturkompensiertem Zustand der Bandabstandsspannung eines Halbleiters entspricht. Je nach Halbleitermaterial, Silizium oder Galliumarsenid, variiert somit die erzeugte Spannung.

Besondere Eigenschaft einer Bandabstandsreferenz ist die hohe Präzision bei geringem schaltungstechnischen Aufwand und zudem sind Bandabstandsreferenzen temperaturstabil und haben eine geringe Klemmenspannung (< 3 Volt). Entsprechend hat die Schaltung eine hohe Verbreitung in der Elektronik erfahren und ist beispielsweise in jedem integrierten Spannungsregler (Linearregler) enthalten, ebenso in vielen Analog-Digital-Umsetzern.

Die älteste Bandabstandsreferenz veröffentlichte Robert Widlar 1971.^[1] Heute existieren Weiterentwicklungen, die weniger Bipolartransistoren und Chipfläche benötigen sowie bessere Eigenschaften aufweisen.

Funktion

Zur Realisierung einer Bandabstandsreferenz gibt es unterschiedliche Ansätze. Einen Überblick liefert Robert Pease in seinem Artikel „The Design of Band-Gap Reference Circuits: Trials and Tribulations“.^[1] Nachfolgend wird ein an die Brokaw-Zelle angelehnter Ansatz schrittweise analysiert.

Arbeitspunktregelung

Das Bild unten zeigt eine Bandabstandsreferenz reduziert auf den Regelkreis zur Stabilisierung von I_{C1 / C2}. Die Rückkopplung ist so angelegt, das U_R1 und U_R2 gleiche Werte annehmen. Von entscheidender Bedeutung ist, das T1 einen höheren Sperrsättigungsstrom I_S aufweist, der konstruktiv durch Parallel-Schalten mehrerer identischer Transistoren erreicht wird.

R₁ = R₂

$U_\mathrm{R1} = R1 \cdot I_\mathrm{C1}$

$U_\mathrm{R2} = R2 \cdot I_\mathrm{C2}$

$I_\mathrm{C} = I_\mathrm{S} \cdot e^{\frac{U_\mathrm{BE}}{U_\mathrm{T}}} \cdot \left( 1 + \frac{U_\mathrm{CE}}{U_{A}} \right)$ ; (Großsignalgleichung des Bipolartransistors)

$I_\mathrm{C} \approx I_\mathrm{S} \cdot e^{\frac{U_\mathrm{BE}}{U_\mathrm{T}}}$

$I_\mathrm{S1} = n \cdot I_\mathrm{S2}$

$I_\mathrm{C1} = n \cdot I_\mathrm{S2} \cdot e^{\frac{U_\mathrm{BE1}}{U_\mathrm{T}}}$

$I_\mathrm{C2} = I_\mathrm{S2} \cdot e^{\frac{U_\mathrm{BE2}}{U_\mathrm{T}}}$

• U_T – Temperaturspannung

Schaltung zur Demonstration der Arbeitspunktregelung

Übertragungskennlinien der beiden Schaltungsteile für
I_S2 = 1 · 10^-15
n = 10
R3 = 100 Ω
U_T = 25,9 mV

Durch den höheren Sperrsättigungsstrom weist T1 einen höheren Verstärkungsfaktor gegenüber U_BE1 auf. Der Widerstand R₃ führt jedoch mit zunehmendem Emitterstrom I_Ezu einer Gegenkopplung und sorgt für einen flachen Kennlinienverlauf. Irgendwann holt T2, dessen Basisanschluss mit T1 parallel liegt, in der Übertragungskennlinie auf. Die Ausgangsspannung U_ref des Differenzverstärkers stabilisiert sich an dem Punkt, an dem sich beide Kennlinien schneiden. Dort leiten beide Transistoren den gleichen Strom.

U_Basis = ΔU_BE + U_BE1 = U_BE2

$I_\mathrm{C} \approx I_\mathrm{E}$

I_C1 = I_C2

Der Arbeitspunkt berechnet sich wie folgt:

$\Delta U_\mathrm{BE} + U_\mathrm{BE1} = U_\mathrm{BE2} \ \Leftrightarrow \ \Delta U_\mathrm{BE} = U_\mathrm{BE2} - U_\mathrm{BE1}$

$U_\mathrm{BE} = U_\mathrm{T} \cdot \ln {\frac{I_\mathrm{C}}{I_\mathrm{S}}} \ \Leftrightarrow \ I_\mathrm{C} = I_\mathrm{S} \cdot e^{\frac{U_\mathrm{BE}}{U_\mathrm{T}}}$

$U_\mathrm{BE1} = U_\mathrm{T} \cdot \ln {\frac{I_\mathrm{C1}}{n \cdot I_\mathrm{S2}}} \ \ ; \ \ U_\mathrm{BE2} = U_\mathrm{T} \cdot \ln {\frac{I_\mathrm{C2}}{I_\mathrm{S2}}}$

$\Delta U_\mathrm{BE} = U_\mathrm{BE2} - U_\mathrm{BE1} = U_\mathrm{T} \cdot \ln {\frac{I_\mathrm{C2}}{I_\mathrm{S2}}} - U_\mathrm{T} \cdot \ln {\frac{I_\mathrm{C1}}{n \cdot I_\mathrm{S2}}}$

$\ln a - \ln b = \ln \frac {a}{b} \ ; \ I_\mathrm{C1} = I_\mathrm{C2}$

Zusammengefasst und gekürzt resultiert die Formel:

$\Delta U_\mathrm{BE} = U_\mathrm{T} \cdot \ln {n} \ ; \ U_\mathrm{T} = \frac {k_\mathrm{B} \cdot T}{e_0}$

• k_B … Boltzmann-Konstante
• e₀ … Elementarladung

In die Gleichung für dem Strom I_C1 eingesetzt ergibt das:

$I_\mathrm{C2} = I_\mathrm{C1} = \frac {\Delta U_\mathrm{BE}}{R3} = \frac{U_\mathrm{T} \cdot \ln {n}}{R3}$

Hieraus lässt sich schließlich die Ausgangsspannung mit der folgenden Gleichung ermitteln.

$U_\mathrm{Ref} = U_\mathrm{Basis} = U_\mathrm{BE2} = U_\mathrm{T} \cdot \ln {\frac{I_\mathrm{C2}}{I_\mathrm{S2}}}$

Temperaturkoeffizent

Die Bedingung

ΔU_BE + U_BE1 = U_BE2

gilt für alle Temperaturwerte und führt direkt zur Bedingung

$\frac{\mathrm{d}\Delta U_\mathrm{BE}}{\mathrm{d}T} + \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{BE1}}{\mathrm{d}T} = \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{BE2}}{\mathrm{d}T}$.

Damit gilt für die Spannung U_Basis:

$\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{Basis}}{\mathrm{d}T} = \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{BE2}}{\mathrm{d}T}$

In guter Näherung gilt hierbei die Temperaturdrift von U_BE bei konstantem Kollektorstrom I_C

$\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{BE}}{\mathrm{d}T} = \frac{ U_\mathrm{BE} - (4+M) \cdot U_\mathrm{T} - U_\mathrm{G} }{T}$

• M … Herstellungsparameter, Wertebereich −1,0 bis −1,5 (ideal)
• U_G … Bandabstandsspannung von Silizium (U_G(300 K) = 1,12 V)

Temperaturkompensation

Wie gezeigt, weist die Ausgangsspannung U_ref (= U_BE) noch eine deutliche Temperaturabhängigkeit auf, die in der Praxis etwa −1,7 mV/K beträgt. Des Weiteren besitzen I_C1 und damit auch I_C2 einen positiven Temperaturkoeffizienten. Die Erweiterung der verbesserten Schaltung (siehe unten) besteht aus dem Widerstand R₂ über den die Ströme I_C1 und I_C2 geleitet werden und macht sich deren Temperaturkoeffizienten zu nutze.

Die Temperaturabhängigkeit für I_{C1 / C2} zeigt diese Formel aus dem Abschnitt Arbeitspunktregelung:

$I_\mathrm{C2} = I_\mathrm{C1} = \frac {\Delta U_\mathrm{BE}}{R_3} = \frac{U_\mathrm{T} \cdot \ln {n}}{R_3} \ ;\ U_\mathrm{T} = \frac{k_\mathrm{B} \cdot T}{e_0}$

Die weitere Rechnung zeigt wie diese Abhängigkeit genutzt werden kann um U_Temp mit einem definierten Temperaturbeiwert auszustatten, der die Drift der Basis-Emitter-Spannung kompensiert.

Schaltung zur Demonstration der Temperaturkompensation

Ermittlung des Temperaturkoeffizienten von U_Temp:

$U_\mathrm{Temp} = R_4 \cdot \left( I_\mathrm{C1} + I_\mathrm{C2}\right)$

$I_\mathrm{C1} = \frac {\Delta U_\mathrm{BE}}{R3} \ \ ; \ \ I_\mathrm{C1} + I_\mathrm{C2} = 2 \cdot I_\mathrm{C1}$

$U_\mathrm{Temp} = R_4 \cdot 2 \cdot I_\mathrm{C1} = R_4 \cdot \frac {\Delta U_\mathrm{BE}}{R_3} \cdot 2$

$\Delta U_\mathrm{BE} = U_\mathrm{T} \cdot \ln {n}$

$U_\mathrm{Temp} = 2 \cdot U_\mathrm{T} \ln n \cdot \frac {R_4}{R_3}$

$\frac {\mathrm{d}U_\mathrm{Temp}}{\mathrm{d}T} = 2 \cdot \frac {\mathrm{d}U_\mathrm{T}}{\mathrm{d}T} \cdot \frac {R_4}{R_3} \cdot \ln{n} = 2 \cdot \frac{U_\mathrm{T}}{T} \cdot \frac {R_4}{R_3} \cdot \ln{n}$

Kompensationsbedingung:

$\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{Temp}}{\mathrm{d}T} = - \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{Basis}}{\mathrm{d}T} = \frac{U_\mathrm{T}}{T} \cdot 2 \cdot \frac {R_4}{R_3} \cdot \ln{n}$

$m = \frac {R_4}{R_3} = - \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{Basis}}{\mathrm{d}T} \cdot \frac{T}{U_\mathrm{T}} \cdot \frac {1}{2 \cdot \ln n}$

Zahlenbeispiel: n = 10

$m = \frac {R_4}{R_3} = -1 \cdot \left(-1{,}7\,\mathrm{\frac{mV}{K}}\right)\cdot\frac{300\,\mathrm K}{25{,}9\,\mathrm{mV}} \cdot \frac {1}{2 \cdot \ln 10} \approx 4{,}28$

Ausgangsspannung

Die Ausgangsspannung U_ref erhöht sich durch das Einfügen der Temperaturkompensation und liegt im Bereich der Bandabstandsspannung U_G des verwendeten Halbleiter bei null Kelvin. Im Fall von Silizium sind das 1,17 Volt bei 0 K. In einem Zahlenbeispiel soll die resultierende Ausgangsspannung ermittelt werden.

U_ref = U_BE1 + U_Temp

Parameter:

• I_S0 = 1 · 10 ^-15
• n = 10
• I_S1 = n · I_S0
• I_S2 = I_S0
• R₃ = 100 Ω
• M = 1,5
• T = 300 K

Im ersten Schritt muss der Arbeitspunkt und somit I_{C1 / C2} bestimmt werden.

$I_\mathrm{C2} = I_\mathrm{C1} = \frac {\Delta U_\mathrm{BE}}{R3} = \frac{U_\mathrm{T} \cdot \ln {n}}{R_3} = \frac{25{,}9\,\mathrm{mV} \cdot \ln {10}}{100} = 0{,}596\,\mathrm{mA}$

$U_\mathrm{Basis} = U_\mathrm{BE2} = U_\mathrm{T} \cdot \ln {\frac{I_\mathrm{C2}}{I_\mathrm{S2}}} = 25{,}9\,\mathrm{mV} \cdot \ln {\frac{0{,}596\,\mathrm{mA}}{1\cdot10^{-15}}} = 702\,\mathrm{mV}$

Aus U_Basis, I_{C1 / C2} und den Parametern kann nun R4 der für die Temperaturkompensation und die Spannung U_Temp errechnet werden.

$\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{BE}}{\mathrm{d}T} = \frac{ U_\mathrm{BE} - (4+M) \cdot U_\mathrm{T} - U_\mathrm{G} + U_\mathrm{T} }{T} = \frac{702\,\mathrm{mV} - (4-1{,}5) \cdot 25{,}9\,\mathrm{mV} - 1120\,\mathrm{mV}}{300\,\mathrm{K}} = -1{,}61\,\mathrm{\frac{mV}{K}}$

$m = \frac {R_4}{R_3} = - \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{Basis}}{\mathrm{d}T} \cdot \frac{T}{U_\mathrm{T}} \cdot \frac {1}{2 \cdot \ln n} = -1\cdot \left(-1{,}61\,\mathrm{\frac{mV}{K}}\right)\cdot \frac{300\,\mathrm{K}}{25{,}9\,\mathrm{mV}} \cdot \frac{1}{2 \cdot \ln 10} \approx 4{,}05$

$R_4 = m \cdot R_3 = 4{,}05 \cdot 100\,\Omega = 405\,\Omega$

$U_\mathrm{Temp} = 2\cdot I_\mathrm{C1} \cdot R_4 = 2 \cdot 0{,}596\,\mathrm{mA} \cdot 405\,\Omega = 483\,\mathrm{mV}$

$U_\mathrm{ref} = U_\mathrm{Basis} + U_\mathrm{Temp} = 0{,}702\,\mathrm{V} + 0{,}483\,\mathrm{V} = 1{,}18\,\mathrm{V}$

Resultate:

• R₄ = 478 Ω
• U_Basis = 0,702 V
• U_Temp = 0,483 V
• U_ref = 1,18 V

Die im Zahlenspiel ermittelte Ausgangsspannung U_ref liegt mit 1,18 V nur einige Prozent über dem Erwarteten Wert von 1,17 V. In der Praxis ist der Sperrsättigungsstrom I_S nur Näherungsweise bekannt und Fertigungstoleranzen unterworfen. Zum Abgleich der Bandabstandsreferenz wird der Widerstand R₄ mittels Laser kalibriert, so dass eine Ausgangsspannung von 1,18 Volt anliegt.

Diskreter Aufbau

In der Praxis kommen nur integrierte Schaltkreise zum Einsatz, doch für Laborversuche und zum Elektronikbasteln bietet ein diskreter Aufbau Anreize. Doch steht dem ein grundlegendes Problem gegenüber, denn Transistoren-Arrays zum Erreichen des erforderlichen Verhältnisses von Sättigungssperrstrom sind schwer erhältlich. Ausweg bietet die Reduzierung des Widerstandes von R₂. Dadurch fließt im Arbeitspunkt durch T2 ein Vielfaches des Stroms durch T1, was einen ähnlichen Effekt hat wie der vielfache Sättigungssperrstrom und die daraus folgende Spannungsstromverstärkung. Ratsam ist die Verwendung eines Doppeltransistors, um die Herstellungsstreuung möglichst gering zu halten und um eine gute thermische Kopplung zu erreichen.

Die wichtigsten Formeln hierzu zusammengefasst:

$R2 = \frac{1}{n} \cdot R1 \ ; \ I_\mathrm{C2} = n \cdot I_\mathrm{C1}$

$\Delta U_\mathrm{BE} = U_\mathrm{BE2} - U_\mathrm{BE1} = U_\mathrm{T} \cdot \ln {\frac{I_\mathrm{C2}}{I_\mathrm S}} - U_\mathrm{T} \cdot \ln {\frac{I_\mathrm{C1}}{I_\mathrm{S}}} = U_\mathrm{T} \cdot \ln {n}$

$I_\mathrm {C1} = \frac {\Delta U_\mathrm{BE}}{R3}$

$U_\mathrm{Temp} = R_4 \cdot I_\mathrm{C1} \cdot \left( 1 + n\right) = R_4 \cdot \frac {\Delta U_\mathrm{BE}}{R_3} \cdot \left( 1 + n\right) = \frac {R_4}{R_3} \cdot U_\mathrm{T} \cdot \ln {n} \cdot \left( 1 + n\right)$

$-\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{Basis}}{\mathrm{d}T} = \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{Temp}}{\mathrm{d}T} = \frac{R4}{R3} \cdot \frac{T}{U_\mathrm{T}} \cdot (1+n) \cdot \ln n$

$m = -\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{Basis}}{\mathrm{d}T} \cdot \frac{R4}{R3} \cdot \frac{T}{U_\mathrm{T}} \cdot \frac{1}{(1+n) \cdot \ln n}$

$\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{BE}}{\mathrm{d}T} = \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{Basis}}{\mathrm{d}T} = \frac{ U_\mathrm{BE} - (4+M) \cdot U_\mathrm{T} - U_\mathrm G }{T}$

Temperatursensor

Als PTAT (proportional to absolute temperature) wird eine Größe bezeichnet, die Proportional zur absoluten Temperatur T ist. Eine solche Eigenschaft weist ΔU_BE und in Folge U_Temp in der Brokaw-Zelle auf.

$\Delta U_\mathrm{BE} = U_\mathrm{T} \cdot \ln n = T \cdot \frac{k_\mathrm B}{e_0} \cdot \ln n$

$U_\mathrm{Temp} = U_\mathrm{T} \cdot 2 \cdot \frac {R_4}{R_3} \cdot \ln n = T \cdot \frac{k_\mathrm B}{e_0} \cdot 2 \cdot \frac {R_4}{R_3} \cdot \ln n$

Dieses Merkmal lässt sich zur Temperaturmessung nutzen und spiegelt direkt die Temperatur des Chip-Materials wieder.

Verschiedenes

Der Begriff curvature correction bezeichnet Maßnahmen zur Kompensation der verbliebenen Temperaturabhängigkeit der Bandabstandsreferenz.

Eine in neuerer Zeit entwickelte Bandabstandsreferenz basiert auf JFETs. Diese sind unter geschützten Markennamen wie XFET bekannt. Bandabstandsreferenzen dieser Art verfügen über teils bessere Eigenschaften als mit Bipolartransitoren realisierte Schaltungen und können auch bei niedrigeren Versorgungsspannungen eingesetzt werden. ^[2]

Literatur

• Ulrich Tietze, Christoph Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik. 12. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2002, ISBN 3-540-42849-6. 
• T. H. Lee: Tales of the Continuum: A Subsampled History of Analog Circuits. In: IEEE/SSC. 2007 ([1]). 

Weblinks

• IC Provides On-Card Regulation for Logic Circuits – Rober Widlar, Februar 1971, National Semiconductor
• A High Precision Bandgap Reference Used in Power Management ICs – Gu Shurong, Wu Xiaobo, Yan Xiaolang
• Bandgap Reference Circuit – Vinay Agarwal

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Robert Pease: The Design of Band-Gap Reference Circuits: Trials and Tribulations
2. ↑ XFET™ References von Analog Devices. (in Englisch)