Bandlücke

Als Bandlücke (englisch band gap), auch Bandabstand bzw. verbotene Zone genannt, wird der energetische Abstand zwischen Valenzband und Leitungsband eines Festkörpers bezeichnet. Dessen elektrische und optische Eigenschaften werden wesentlich durch die Größe der Bandlücke bestimmt.

Energiebandlücken ausgewählter Materialien

Material	Art	Energie in eV
		0 K	300 K
Elemente
C (als Diamant)	indirekt	5,4	5,46–6,4
Si	indirekt	1,17	1,12
Ge	indirekt	0,75	0,67
Se	direkt		1,74
IV-IV-Verbindungen
SiC 3C	indirekt		2,36
SiC 4H	indirekt		3,28
SiC 6H	indirekt		3,03
III-V-Verbindungen
InP	direkt	1,42	1,27
InAs	direkt	0,43	0,355
InSb	direkt	0,23	0,17
InN	direkt		0,7
InxGa1-xN	direkt		0,7–3,37
GaN	direkt		3,37
GaP 3C	indirekt		2,26
GaSb	direkt	0,81	0,69
GaAs	direkt	1,52	1,42
AlxGa1-xAs	x<0,4 direkt, x>0,4 indirekt		1,42–2,16
AlAs	indirekt		2,16
AlSb	indirekt	1,65	1,58
AlN	direkt		6,2
II-VI-Verbindungen
TiO2		3,03	3,2
ZnO	direkt	3,436	3,37
ZnS			3,56
ZnSe	direkt		2,70
CdS			2,42
CdSe			1,74
CdTe			1,45

Ursprung

Nach dem Bändermodell sind gebundene elektronische Zustände nur auf bestimmten Intervallen der Energieskala zugelassen, den Bändern. Zwischen den Bändern können (aber müssen nicht) energetisch verbotene Bereiche liegen. Jeder dieser Bereiche stellt eine Lücke zwischen den Bändern dar, jedoch ist für die physikalischen Eigenschaften eines Festkörpers nur die eventuelle Lücke zwischen dem höchsten noch vollständig mit Elektronen besetzten Band (Valenzband, VBM) und dem nächsthöheren (Leitungsband, CBM) von entscheidender Bedeutung. Daher ist mit der Bandlücke immer diejenige zwischen Valenz- und Leitungsband gemeint.

Das Auftreten einer Bandlücke in manchen Materialien lässt sich quantenmechanisch durch das Verhalten der Elektronen in dem periodischen Potential einer Kristallstruktur verstehen. Dieses Modell der quasifreien Elektronen liefert die theoretische Grundlage für das Bändermodell.

Die Größe der Bandlücke wird üblicherweise in Elektronenvolt (eV) angegeben. Falls das Valenzband mit dem Leitungsband überlappt, tritt keine Bandlücke auf. Ist das Valenzband nicht vollständig mit Elektronen besetzt, so übernimmt der obere nicht gefüllte Bereich die Funktion des Leitungsbandes, folglich hat man auch hier keine Bandlücke. In diesen Fällen reichen infinitesimale Energiebeträge zur Anregung eines Elektrons aus.

Auswirkungen

Elektrische Leitfähigkeit

Nur angeregte Elektronen im Leitungsband können sich praktisch frei durch einen Festkörper bewegen und tragen zur elektrischen Leitfähigkeit bei. Bei endlichen Temperaturen sind durch thermische Anregung immer einige Elektronen im Leitungsband, jedoch variiert deren Anzahl stark mit der Größe der Bandlücke. Anhand dieser wird deshalb die Klassifizierung nach Leitern, Halbleitern und Isolatoren vorgenommen. Die genauen Grenzen sind unscharf, man kann jedoch in etwa folgende Grenzwerte als Faustregel benutzen:

• Leiter haben keine Bandlücke.
• Halbleiter haben eine Bandlücke im Bereich von 0 bis ≈ 3 eV.
• Nichtleiter haben eine Bandlücke größer als 3 eV.

Optische Eigenschaften

Die Fähigkeit eines Festkörpers, Licht zu absorbieren ist an die Bedingung geknüpft, die Photonenenergie mittels Anregen von Elektronen aufzunehmen. Da keine Elektronen in den verbotenen Bereich zwischen Valenz- und Leitungsband angeregt werden können, muss die Energie eines Photons die der Bandlücke übertreffen – ansonsten kann das Photon nicht absorbiert werden.

Die Energie eines Photons ist über die Formel E = hν an die Frequenz ν (Ny) der elektromagnetischen Strahlung gekoppelt. Besitzt ein Festkörper eine Bandlücke, so ist er demnach für Strahlung bis zu einer gewissen Frequenz transparent (Im Allgemeinen ist diese Aussage nicht ganz korrekt, da es auch andere Möglichkeiten gibt, die Photonenenergie zu absorbieren). Es lassen sich speziell für die Durchlässigkeit von sichtbarem Licht (Photonenenergien um ≈ 2 eV) folgende Regeln ableiten:

1. Metalle können nicht transparent sein.
2. Transparente Festkörper sind meistens Isolatoren. Es gibt aber auch elektrisch leitfähige Materialien mit vergleichsweise hohem Transmissionsgrad, z. B. transparente, elektrisch leitfähige Oxide.

Da die Absorption eines Photons mit der Anregung eines Elektrons vom Valenz- ins Leitungsband verbunden ist, besteht ein Zusammenhang mit der elektrischen Leitfähigkeit. Insbesondere sinkt der elektrische Widerstand eines Halbleiters mit steigender Lichtintensität, was z. B. bei Helligkeitssensoren genutzt werden kann, siehe auch unter Fotoleitung.

Arten

Direkte Bandlücke

Schema eines direkten Bandübergangs im (vereinfachten) Bandstrukturdiagramm

Das Minimum des Leitungsbandes liegt im $E(\vec k)$-Diagramm direkt über dem Maximum des Valenzbandes. Bei einem direkten Übergang von Valenzband zu Leitungsband liegt der kleinste Abstand zwischen den Bändern direkt über dem Maximum des Valenzbandes.

Anwendungsbeispiele: Leuchtdiode

Indirekte Bandlücke

Schema eines indirekten Bandübergangs im (vereinfachten) Bandstrukturdiagramm

Bei einer indirekten Bandlücke ist das Minimum des Leitungsbandes gegenüber dem Maximum des Valenzbandes auf der $\vec k$-Achse verschoben, das heißt, der kleinste Abstand zwischen den Bändern ist versetzt. Die Absorption eines Photons ist nur bei einer direkten Bandlücke effektiv möglich, bei einer indirekten Bandlücke muss ein zusätzlicher Quasiimpuls ($\vec k$) beteiligt werden, wobei ein passendes Phonon erzeugt oder vernichtet wird. Dieser Prozess mit einem Photon allein ist aufgrund des niedrigen Impulses des Lichts wesentlich unwahrscheinlicher, das Material zeigt dort eine schwächere Absorption.

Der bekannteste Halbleiter, Silicium, besitzt einen indirekten Bandübergang.

Temperaturabhängigkeit der Bandlücke

Mit steigender Temperatur nimmt die Energie der Bandlücke ausgehend von einem maximalen Wert bei $T = 0\,\mathrm{K}$ zuerst quadratisch, dann mehr oder weniger linear ab. Diese Abhängigkeit lässt sich phänomenologisch beschreiben unter anderem mit der Varshni-Formel^[1]:

$E_\mathrm{g}(T) = E_\mathrm{g}(T = 0\,\mathrm{K}) - \frac{\alpha T^2}{T+\beta}$ wobei $\beta \approx \Theta_\mathrm{Debye}$ (Debye-Temperatur)

Die Parameter E_g(0), α und β können für unterschiedliche Halbleiter angegeben werden:

Varshni-Parameter für ausgewählte Halbleiter

Halbleiter	Eg(T = 0 K) in eV	α in 10−4 eV/K	β in K	Quelle
Si	1,170	4,73	636	[2]
Ge	0,744	4,774	235
GaAs	1,515	5,405	204	[2]
GaN	3,4	9,09	830	[3]
AlN	6,2	17,99	1462	[3]
InN	0,7	2,45	624	[3]

Siehe auch

• Bandstruktur
• Schrödinger-Gleichung
• Bandabstandsreferenz
• Solarzelle
• III-V-Verbindungshalbleiter#Berechnung der ternären Bandübergangsenergien

Literatur

• Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. 14. Auflage, Oldenbourg, 2005, ISBN 3486577239 (dt. Übersetzung).
• Charles Kittel: Introduction to Solid State Physics. John Wiley and Sons, 1995, 7. Auflage, ISBN 0471111813.

Weblinks

 Commons: Bandlücken – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

1. ↑ Y. P. Varshni: Temperature dependence of the energy gap in semiconductors. In: Physica. 34, Nr. 1, S. 149–154, doi:10.1016/0031-8914(67)90062-6.
2. ↑ ^{a b} Hans-Günther Wagemann, Heinz Eschrich: Solarstrahlung und Halbleitereigenschaften, Solarzellenkonzepte und Aufgaben. Vieweg+Teubner Verlag, 2007, ISBN 3835101684, S. 75.
3. ↑ ^{a b c} Barbara Monika Neubert: GaInN/GaN LEDs auf semipolaren Seitenfacetten mittels selektiver Epitaxie hergestellter GaN-Streifen. Cuvillier Verlag, 2008, ISBN 978-3867277648, S. 10.