Triell

Das Triell ist eine Variante des Duells mit drei anstatt mit zwei Kämpfern (jeder gegen jeden, nicht zwei gegen einen). Bekannt wurde das Triell durch seine paradoxe Eigenschaft, dass unter bestimmten Bedingungen gute Schützen gegenüber schlechten Schützen im Nachteil sind.

Wie ein Duell kann ein Triell auf unterschiedliche Art und Weisen ausgetragen werden. So muss beispielsweise vereinbart werden, ob nur ein Schuss abgegeben werden darf, oder ob solange geschossen wird, bis nur noch ein Schütze überlebt.

Trielle sind in vielfältigen Ausprägungen wissenschaftlich erforscht, insbesondere durch D. Marc Kilgour. Eine vollständige Untersuchung in Begriffen der Spieltheorie steht allerdings noch aus.

Geschichte

Erstmals weiter bekannt wurde das Triell 1959 durch seine Erwähnung in Martin Gardners Buch „Mathematische Rätsel und Probleme“. Als früheste Quelle gibt er „Question Time“ von Hubert Phillips (Farrar and Rinehart, Inc., 1938) an. Die Lösung entnahm er allerdings einer wissenschaftlichen Veröffentlichung, dem American Mathematical Monthly, Ausgabe Dezember 1948.

Große Popularität erlangte die Idee bald darauf durch den sehr bekannten Western „Il buono, il brutto, il cattivo“ (1966, deutscher Titel: „Zwei glorreiche Halunken“) von Sergio Leone. Zur finalen Auseinandersetzung mit Revolvern um einen Goldschatz stellen sich dreier Westerner an einem Kreis auf. Jeder der drei hat unterschiedliche Motive, auf einen der anderen zu schießen. Leone nutzt die komplexe Motivverflechtung zur Vervielfachung der Spannung eines klassischen Duells.

1973 fand Donald Knuth nach weiterer wissenschaftlichen Untersuchung eine optimale Strategie, die Gardner und seine Vorgänger übersehen hatten: Alle Spieler schießen in die Luft.

In den 1970er Jahren wurde das Triell mit verschiedensten Regelwerken wissenschaftlich untersucht:

• Trielle mit unendlicher Anzahl von Schüssen als auch begrenzter Anzahl von Schüssen pro Spieler.
• Trielle, in denen Luftschüsse verboten bzw. erlaubt waren.
• Trielle, in denen die Reihenfolge des Schussrechts variiert wird.
• Trielle, in denen Duelle zwischen zwei überlebenden Spielern unter völlig neuen Bedingungen fortgeführt werden usw.

Das Triell wurde durch die Erwähnung in Simon Singhs Buch „Fermats letzter Satz“ (2000) ein weiteres Mal allgemein bekannt. Im Vergleich zu Gardners Version wurden dort die Trefferwahrscheinlichkeiten geändert. Donald Knuths Ergebnis wurde bei der Lösung jedoch nicht berücksichtigt.

Im Kurzfilm „Triell“ (2004, Regie: Su Turhan) mit Michael Ballhaus an der Kamera, kämpfen drei Männer in einem Triell um eine Frau, gespielt von Bettina Zimmermann.

Analyse

Gardner und Singh glaubten, dass der schwächste Schütze zum eigenen Vorteil am besten in die Luft schießt, sowie die beiden besten Schützen aufeinander. Dies ist aber nur unter bestimmten Bedingungen zutreffend, die von beiden Autoren nicht genannt wurden.

Im Folgenden werden für das Triell, wie es in den Versionen von Gardner und Singh beschrieben ist, die Grundzüge der Lösung von Kilgour (Lit.: Kilgour, 1975), dargelegt.

Das Problem

Drei Schützen veranstalten ein Triell, bei dem nacheinander geschossen wird, bis nur noch ein Teilnehmer lebt. Alle drei Schützen sind bekanntermaßen unterschiedlich gut. Um das Triell gerecht zu gestalten, wird dem schlechtesten der erste Schuss gewährt; dann folgt der zweitbeste (falls er noch lebt), dann der beste (falls er noch lebt). Danach geht es wieder beim schlechtesten los. Wohin sollen die Schützen optimalerweise zielen?

Zusätzliche Annahmen

Für eine eindeutige Bestimmung der optimalen Strategien müssen einige Eigenschaften der Nutzenfunktionen der Kombattant klar definiert werden.

Der Nutzen von Schütze 2, wenn die Schützen 1 und 3 erschossen sind, sei u₂(13).

Dann sind folgende Annahmen plausibel: $u_2(13) \ge u_2(1) = u_2(3) > u_2(123) \ge u_2(12) = q u_2(23) \ge u_2(2)$

Unter weiteren Annahmen an die Nutzenfunktion können nun die optimalen Strategien bestimmt werden.

Die Lösung

Szenario 1. "nicht-feindliche" Spieler

Sind alle Spieler "nicht-feindlich" gesinnt, d. h. ist es ihnen gleich wie viele andere Spieler tot sind, solange sie nur selbst am Leben bleiben (das würde für die Nutzenfunktion des zweiten Spielers bedeuten: u(123) = u₂(12) = u₂(23) = u₂(2)), dann ist das In-die-Luftschießen aller Spieler die einzige Lösung des Spiels.

Szenario 2. Mindestens ein "feindlicher" Spieler

Ist jedoch einer der Spieler "feindlich" gesinnt (z. B. u₂(23) > u₂(2) ), so gibt es - je nach Trefferwahrscheinlichkeiten der einzelnen Spieler - genau eine der folgenden Lösungen:

• Wenn G₂ > 0 : Alle schießen aufeinander.
• Wenn G₂ < 0 : Die beiden Stärksten schießen aufeinander. Der Schwächste schießt in die Luft.
• Wenn G₂ = 0 : Die beiden Stärksten schießen aufeinander. Der Schwächste schießt mit einer beliebigen Wahrscheinlichkeit auf den Stärksten.

mit $G_2(a, b, c) = -1 + b + b^2 c + a \left( b + c - b^2 - 2 b c - b^2 c \right) + a^2 b^2 c \;\;\; f \ddot{u} r \;\;\; 0 < a \le b \le c < 1$

Beispiel: Für a = 1/3, b = 2/3 und c = 1 ist G₂(a,b,c) = -0.24926, d.h. der Schwächste würde in die Luft schießen und die anderen beiden aufeinander.

Die folgende Tabelle verdeutlicht den großen Vorteil, den der schwächste Schütze im Triell hat. Im ersten Beispiel (Gardner) überlebt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 54 %. Der beste Schütze, der immer trifft, geht jedoch nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % als Sieger hervor (beide Aussagen für das Szenario Mindestens ein "feindlicher" Spieler).

Tabelle: Optimale Strategien und Überlebenswahrscheinlichkeiten (ÜW) in zwei beispielhaften Triellen

	Mindestens ein "feindlicher" Spieler									"nicht-feindliche" Spieler
	von Martin Gardner					von Simon Singh
Kämpfer	TW	optimale Strategie	ÜW analytisch	ÜW analytisch	ÜW simuliert	TW	optimale Strategie	ÜW analytisch	ÜW simuliert	optimale Strategie	ÜW
A	1	Schuss auf B	24,167 %	9/90 (10,00 %)	10,44 %	1	Schuss auf B	14/63 (22,22 %)	22,75 %	Schuss in die Luft	1,00
B	0,8	Schuss auf A	31,111%	32/90 (35,56 %)	35,32%	2/3	Schuss auf A	24/63 (38,10 %)	38,00%	Schuss in die Luft	1,00
C	0,5	Schuss in die Luft	44,722 %	49/90 (54,44 %)	54,24 %	1/3	Schuss in die Luft	25/63 (39,68 %)	39,25 %	Schuss in die Luft	1,00

TW steht für die Trefferwahrscheinlichkeit des jeweiligen Schützen. Simuliert wurde jeweils 10.000 Mal. Die Abweichungen zwischen den Simulationsergebnissen und Gardners analytischen Ergebnissen zeigen, dass Gardners Quelle fehlerhaft war.

Wenn die Überlebenswahrscheinlichkeiten als Nutzen der Spieler benutzt werden, befindet man sich automatisch im Szenario "nicht-feindlicher" Spieler.

Die Schwierigkeit bei der Analyse des Triells besteht nicht darin, die Überlebenswahrscheinlichkeiten der Spieler zu berechnen, wenn die optimalen Strategien der Spieler schon bekannt sind, sondern die optimalen Strategien erst einmal herauszufinden.

Kritik an der Lösung

Es lassen sich einige Kritikpunkte in obiger Analyse finden. So sind nur stationäre Strategien zugelassen, was bedeutet, dass kein Strategiewechsel während des Schusswechsels vorgenommen werden kann. Zudem ist der Einfluss von Risikoeinstellungen (beispielsweise Risikoaversion) nicht ausdrücklich berücksichtigt.

Literatur

• Martin Gardner: Mathematische Rätsel und Probleme. Vieweg Braunschweig 1968
• D. Marc Kilgour: The Sequential Truel. International Journal of Game Theory 4, 3, 1975, 151-174.
• D. Marc Kilgour: Equilibrium Points of Infinite Sequential Truels. International Journal of Game Theory 6, 3, 1978, 167-80.

Weblinks

•  Wiktionary: Triell – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
• The Truel List - Eine englischsprachige Liste von Publikationen, Webseiten und Filmen, die sich mit Triellen beschäftigen oder Triell-ähnliche Situationen enthalten.
• Triell - Der Kurzfilm
• The Good, the Bad and the Ugly in der deutschsprachigen IMDB