Tschebyschew-Polynom

Tschebyschow-Polynome (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, oft auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev oder Chebychev in der Literatur zu finden) sind Polynome T_n(x), die sich als Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung

$(1-x^2)\, y''-x \, y'+n^2 \, y = 0$

ergeben. Die Funktionen

$y_1(x)= 1 - {n^2 \over 2!} \, x^2 + {n^2 \, (n^2-4) \over 4!} \, x^4 - {n^2 \, (n^2-4)\, (n^2-16) \over 6!} \, x^6 \pm \cdots$

und

$y_2(x)=x-{n^2-1 \over 3!} \, x^3 + {(n^2-1) \, (n^2-9) \over 5!} \, x^5 \mp \cdots$

bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung. Für ganzzahlige n brechen diese Reihen nach endlich vielen Gliedern ab, und man erhält Polynome als Lösung. Mit der Normierung T_n(1) = 1 werden diese als Tschebyschow-Polynome T_n(x) bezeichnet. Die ersten sieben Polynome dieser Art sind:

$\begin{align} T_0(x)&=1 \\ T_1(x)&=x \\ T_2(x)&=2 x^2 - 1 \\ T_3(x)&=4 x^3 - 3 x\\ T_4(x)&=8 x^4 - 8 x^2 + 1\\ T_5(x)&=16 x^5 - 20 x^3 + 5 x\\ T_6(x)&=32 x^6 - 48 x^4 + 18 x^2 - 1 \end{align}$

Sie können in allgemeiner Weise aus dem rekursiven Zusammenhang

$T_{n+1}(x) = 2x \, T_n(x)-T_{n-1} (x)$

berechnet werden. Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als

$T_n(x)=\cos\left(n \, \arccos x\right) \quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad x \in [-1,1]$

oder

$T_n(\cos \theta)=\,\!\cos(n \theta)$

Die n Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms T_n(x) sind gegeben durch

$\cos\left(\tfrac{2j+1}{2n}\,\pi\right) \quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad j = 0, \ldots, n-1$

Anwendungen

In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyschow-Filtern verwendet. Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden. Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyscheff-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme.