Ungleichung von Pedoe

Die Ungleichung von Pedoe, benannt nach Daniel Pedoe, ist eine geometrische Aussage über die Seitenlängen und die Flächeninhalte zweier Dreiecke.

Sind a, b und c die Seitenlängen eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt f und A, B und C die Seitenlängen eines weiteren Dreiecks mit dem Flächeninhalt F, so gilt folgende Ungleichung:

$A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16Ff,\,$

Dabei gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind.

Man beachte, dass der Rechenausdruck auf der linken Seite nicht nur bezüglich der sechs Permutationen der Menge { (A,a), (B,b), (C,c) } von geordneten Paaren symmetrisch ist, sondern auch — vielleicht weniger offensichtlich — bezüglich der Vertauschung von A mit a, B mit b und C mit c. Mit anderen Worten: Es handelt sich um eine symmetrische Funktion des gegebenen Paares von Dreiecken.

Diese Ungleichung verallgemeinert die Ungleichung von Weitzenböck und die Ungleichung von Hadwiger–Finsler.

Literatur

• Daniel Pedoe: A Two-Triangle Inequality, In The American Mathematical Monthly, Vol. 70, Nr. 9, S. 1012, November 1963.
• Daniel Pedoe: An Inequality for Two Triangles, In Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 38, Teil 4, S. 397, 1943.

Weblinks

• Ungleichung von Pedoe (engl.) (PDF)