A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist ein Begriff aus der bayesschen Statistik. Sie beschreibt den Wissensstand über einen unbekannten Umweltzustand θ nach der Beobachtung einer von θ abhängigen Zufallsgröße X.

Definition

Folgende Situation ist gegeben: θ ist ein unbekannter Umweltzustand (z.B. ein Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung), der auf der Basis von Beobachtungen x einer Zufallsgröße X geschätzt werden soll.

Gegeben sei eine Verteilung für den Parameter θ vor der Beobachtung der Stichprobe. Diese Verteilung wird auch A-priori-Verteilung genannt.

Weiterhin sei die Dichte (bzw. im diskreten Fall: die Wahrscheinlichkeitsfunktion) der bedingten Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung θ = θ₀ gegeben. Diese Dichte (bzw: Wahrscheinlichkeitsfunktion) wird im folgenden mit f(x | θ₀) bezeichnet.

Die A-posteriori-Verteilung ist die Verteilung des Populationsparameters θ unter der Bedingung, dass für die Zufallsgröße X der Wert x beobachtet wurde. Die A-posteriori-Verteilung wird mit Hilfe des Bayestheorems aus der A-priori-Verteilung und der bedingten Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung θ = θ₀ berechnet.

A-posteriori-Verteilung

Für stetige A-priori-Verteilungen

Eine stetige A-priori-Verteilung liegt dann vor, wenn die A-priori-Verteilung auf der Menge der reellen Zahlen $\R$ oder auf einem Intervall in $\R$ definiert ist. Beispiele für stetige A-priori-Verteilungen sind:

• die Normalverteilung (hier ist der Parameterraum Θ die Menge der reellen Zahlen) oder
• die Gleichverteilung auf dem Intervall [0;1] (hier ist der Parameterraum Θ das Intervall [0;1]).

Im Folgenden steht g(θ) für die auf dem Parameterraum Θ definierte A-priori-Dichte von θ.

In diesem Fall kann die A-posteriori-Dichte h(θ | x) folgendermaßen berechnet werden^[1]:

$h(\theta_0\mid x) = \frac{f(x\mid \theta_0) \, g(\theta_0)}{\displaystyle\int_\Theta f(x \mid\theta') \, g(\theta') \, d\theta'} \!$

Für diskrete A-priori-Verteilungen

Im folgenden Abschnitt steht P(θ = θ₀) für die diskrete A-priori-Wahrscheinlichkeit, dass der Parameter θ den Wert θ₀ annimmt. Eine diskrete A-priori-Verteilung ist auf einer endlichen Menge oder auf einer Menge mit abzählbar unendlichem Träger definiert.

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit wird im folgenden mit P(θ = θ₀ | x) bezeichnet und kann auf folgende Weise berechnet werden:^[1]

$P(\theta=\theta_0 | x) = \frac{f(x | \theta_0) \, P(\theta=\theta_0)}{\displaystyle\sum_{\theta' \in \Theta} f(x | \theta') \, P(\theta=\theta') } \!$

Bedeutung in der bayesianischen Statistik

In der bayesianischen Statistik stellt die A-posteriori-Verteilung den neuen, durch Vorwissen und Beobachtung bestimmten Kenntnisstand über die Verteilung des Parameters θ nach der Beobachtung der Stichprobe dar.

Damit ist die A-posteriori-Verteilung die Grundlage zur Berechnung aller Punktschätzer und Konfidenzintervalle in der bayesianischen Statistik.^[1]

Beispiel

In einer Urne befinden sich rote und schwarze Kugeln. Es ist bekannt, dass der Anteil roter Kugeln entweder bei 40 % oder aber bei 60 % liegt. Um genaueres herauszufinden, werden (mit Zurücklegen) 11 Kugeln aus der Urne gezogen. Es werden 4 rote und 7 schwarze Kugeln gezogen.

Die Zufallsgröße Anzahl gezogener roter Kugeln wird im Folgenden mit dem Buchstaben X bezeichnet, der tatsächlich beobachtete Wert der Zufallsgröße als x.

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit unbekanntem Parameter θ, wobei θ nur einen der Werte 0{,}4 oder 0{,}6 annehmen kann. Da kein weiteres Vorwissen bekannt ist, wird als A-priori-Verteilung für θ eine diskrete Gleichverteilung angenommen, d.h.

$Pr(\theta=0{,}4)=Pr(\theta=0{,}6)=0{,}5 \!$

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X=x ergibt sich aus der Binomialverteilung:

$f(X=4\mid\theta=\theta_0)={11 \choose 4} \; {\theta_0}^4 \; (1-\theta_0)^7 \!$

Man erhält daher für θ = 0,4:

$f(X=4\mid\theta=0{,}4)={11 \choose 4}\; 0{,}4^4 \;0{,}6^7 = 0{,}236 \!$.

Für θ = 0,6 erhält man:

$f(X=4\mid\theta=0{,}6)={11 \choose 4} \; 0{,}6^4 \; 0{,}4^7 = 0{,}07 \!$.

Die A-posteriori-Verteilung kann nun mit Hilfe des Satzes von Bayes berechnet werden. Für θ = 0,4 erhält man als A-posteriori-Wahrscheinlichkeit:

$P(\theta=0{,}4\mid x=4) = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}236}{0{,}5 \cdot 0{,}236 + 0{,}5 \cdot 0{,}07 } = 0{,}77 \!$.

Für θ = 0,6 ergibt sich die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit:

$P(\theta=0{,}6\mid x=4) = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}07}{0{,}5 \cdot 0{,}236 + 0{,}5 \cdot 0{,}07 } =0{,}23 \!$.

Somit ist man sich nach Ziehung der Stichprobe mit Wahrscheinlichkeit 0{,}77 sicher, dass der Anteil roter Kugel in der Urne 40 % beträgt.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b c} Bernhard Rüger (1988), S. 152 ff.

Literatur

• Bernhard Rüger: Induktive Statistik. Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. R. Oldenbourg Verlag, München Wien 1988. ISBN 3-486-20535-8
• Hans-Otto Georgii: Stochastik - Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. de Gruyter Verlag, Berlin New York 2007. ISBN 978-3-11-019349-7

Siehe auch

• Bayestheorem
• a posteriori