A-priori-Verteilung

Die A-priori-Verteilung ist ein Begriff aus der bayesianischen Statistik.

Definition

Folgende Situation ist gegeben: θ ist ein unbekannter Populationsparameter, der auf der Basis von Beobachtungen x einer Zufallsgröße X geschätzt werden soll.

Gegeben sei eine Verteilung für den Parameter θ, die das Wissen über den Parameter θ vor der Beobachtung der Stichprobe beschreibt. Diese Verteilung wird A-priori-Verteilung genannt.

Weiterhin sei die bedingte Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung θ = θ₀ gegeben, die auch als Likelihood-Funktion bekannt ist.

Aus der A-priori-Verteilung und der Likelihood-Funktion kann mit Hilfe des Satzes von Bayes die A-posteriori-Verteilung berechnet, welche grundlegend für die Berechnung von Punktschätzern und Konfidenzintervallen in der bayesianischen Statistik ist.

(Nicht-)informative A-priori-Verteilungen

Eine nichtinformative A-priori-Verteilung ist dadurch definiert, dass jedem möglichen Wert des Parameters θ der gleiche Wahrscheinlichkeitswert zugeordnet wird. Dadurch erhält man eine A-posteriori-Verteilung die identisch mit der Likelihoodfunktion ist. Maximum-a-posteriori-Schätzer und Konfidenzintervalle, die mit einer nichtinformativen A-priori-Verteilung gewonnen wurden sind daher numerisch äquivalent zu Maximum Likelihood-Schätzern und frequentistischen Konfidenzintervallen.

Eine informative A-priori-Verteilung liegt in allen anderen Fällen vor.

Der Begriff der nichtinformativen A-priori -Verteilung sei an einem Beispiel erläutert: Die Zufallsgröße Y sei der mittlere Intelligenzquotient in der Stadt ZZZ. Aufgrund der Konstruktion des Intelligenzquotienten ist bekannt, dass Y normalverteilt ist mit Standardabweichung 15 und unbekanntem Parameter μ. An einer Stichprobe von N Freiwilligen wird der Intelligenzquotient gemessen. In dieser Stichprobe wird ein arithmetisches Mittel von 105 beobachtet.

Eine nichtinformative A-priori-Verteilung ist in diesem Fall die Gleichverteilung auf $\R$. Auf diese Weise erhält man als A-posteriori-Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert 105 und Standardabweichung $\frac{15}{\sqrt{N}}$. Der Maximum a posteriori-Schätzer für den Mittelwert μ ist dann 105 (i.e.: das arithmetische Mittel der Stichprobe) und somit identisch zum Maximum-Likelihood-Schätzer.

Konjugierte A-priori-Verteilungen

Eine konjugierte A-priori-Verteilung liegt immer dann vor, wenn die A-priori-Verteilung den gleichen Verteilungstyp wie die A-posteriori-Verteilung besitzt.

Ein Beispiel hierfür ist das Binomial-Beta-Modell: X sei eine binomialverteilte Zufallsgröße mit Erfolgswahrscheinlichkeit p als Parameter. In N Einzelversuchen werden k Erfolge beobachtet. Als A-priori-Verteilung für p wird eine Beta(a,b)-Verteilung verwendet. Unter diesen Voraussetzungen ist die A-posteriori-Verteilung eine Beta (a+k,b+N-k)-Verteilung.

Literatur

• James O. Berger: Statistical decision theory and Bayesian analysis. Springer Series in Statistics, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg 1985. ISBN 0-387-96098-8