- Stetige Gleichverteilung
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Die stetige Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat auf einem Intervall (a,b) eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Eine stetige Zufallsvariable X bezeichnet man als gleichverteilt auf dem Intervall [a,b], wenn Dichtefunktion f(x) und Verteilungsfunktion F(x) gegeben sind als
Als abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig
oder
verwendet. In einigen Formeln sieht man auch Gleich(a,b) oder uniform(a,b) als Bezeichnung für die Verteilung.
Eigenschaften
Erwartungswert und Median
Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung ist
Varianz
Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist
Standardabweichung
Aus der Varianz erhält man die Standardabweichung
Variationskoeffizient
Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:
Schiefe
Die Schiefe lässt sich darstellen als
Wölbung und Exzess
Der Wölbung und der Exzess lassen sich ebenfalls geschlossen darstellen als
(Wölbung) bzw.
(Exzess).
Momente der Ordnung k
Moment Zentrales Moment Summe gleichverteilter Zufallsvariablen
Die Summe zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt; die Summe der Gleichverteilungen zu Intervallen [a,b] bzw. [c,d] mit
besitzt dagegen eine trapezförmige Verteilung. Wegen des Zentralen Grenzwertsatzes nähert sich die Summe von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen umso mehr der Normalverteilung an, je mehr Zufallsvariablen aufsummiert werden.
Eine zuweilen verwendete Methode (Zwölferregel) zur approximativen Erzeugung (standard-)normalverteilter Zufallszahlen funktioniert so: man summiert 12 (unabhängige) auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallszahlen und subtrahiert 6 (das liefert die richtigen Momente, da die Varianz einer U(0,1)-verteilten Zufallsvariablen 1/12 ist und sie den Erwartungswert 1/2 besitzt).
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion hat die Form
,
wobei i die imaginäre Einheit darstellt.
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist
und speziell für a = 0 und b = 1
Damit ergeben sich die ersten allgemeinen Momente zu
Beziehung zu anderen Verteilungen
Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn X eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt beispielsweise
der Exponentialverteilung mit dem Parameter g.
Beispiel für das Intervall [0,1]
Häufig wird a = 0 und b = 1 angenommen, also
betrachtet. Dann ist die Dichtefunktion f(x) = 1 und die Verteilungsfunktion F(x) = x auf dem Intervall [0,1]. Der Erwartungswert beträgt E(X) = 0,5 und die Varianz Var(X) = 1/12, somit ist die Standardabweichung
. Siehe hierzu auch den obigen Abschnitt Summe gleichverteilter Zufallsvariablen.
Siehe auch
Weblinks
- Universität Konstanz – Interaktive Animation
Diskrete univariate VerteilungenDiskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-MandelbrotDiskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta
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