Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient ist eine statistische Kenngröße in der deskriptiven Statistik und der mathematischen Statistik. Im Gegensatz zur Varianz ist er ein relatives Streuungsmaß, d.h er hängt nicht von der Maßeinheit der statistische Variablen bzw. Zufallsvariablen ab.

Die Motivation für diesen Kennwert ist, dass eine statistische Variable mit großem Mittelwert bzw. eine Zufallsvariable mit großem Erwartungswert im Allgemeinen eine größere Varianz aufweist als eine mit einem kleinen Mittelwert/Erwartungswert. Da die Varianz und damit die Wurzel daraus, die Standardabweichung, nicht normiert sind, kann im Allgemeinen nicht beurteilt werden, ob eine Varianz groß oder klein ist.

Beispiel: So schwanken beispielsweise die Preise für ein Pfund Salz, das im Durchschnitt wohl etwa 0,5 Euro kostet, im Cent-Bereich, während Preise für ein Auto, das im Mittel beispielsweise 20.000 Euro kostet, im 1000-Euro-Bereich variieren.

Der Variationskoeffizient ist eine Normierung der Varianz, d.h. ist die Standardabweichung größer als der Mittelwert bzw. der Erwartungswert, so ist der Variationskoeffizient größer 1.

Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten.

Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable

Der Variationskoeffizient $\operatorname{VarK}$ für eine Zufallsvariable ist definiert als die relative Standardabweichung, d.h. die Standardabweichung dividiert durch den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X. In der Regel wird der Variationskoeffizient in Prozent angegeben, d. h.

$\operatorname{VarK}(X) = \frac{\mathrm{Standardabweichung}(X)}{\mathrm{Mittelwert}(X)} = \frac{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}{\operatorname{E}(X)}$

Beispiel

Die reelle Zufallsvariable X sei standardnormalverteilt, d.h. Erwartungswert und Standardabweichung von X haben den Wert 0 bzw. 1. Der Variationskoeffizent kann für diese Zufallsvariable gar nicht definiert werden (Division durch Null). Die verschobene Zufallsvariable X + 1000 hat ebenso die Standardabweichung 1, aber den Erwartungswert 1000. Hier errechnet sich ein Variationskoeffizient von 1 / 1000 = 0,001.

Quadrierter Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable

Die Varianz der Zufallsgröße $X/\operatorname{E}(X)$ wird als quadrierter Variationskoeffizient $\operatorname{SCV}$ bzw. $c^2_X$ bezeichnet. Er hängt wie der Variationskoeffizient nicht von der Dimension ab, in der die Größe X gemessen wird.

$\operatorname{SCV} = c^2_X = \operatorname{Var}\left(\frac{X}{\operatorname{E}(X)}\right) = \frac{\operatorname{E}(X^2) - \left[\operatorname{E}(X)\right]^2}{\left[\operatorname{E}(X)\right]^2} = \frac{\operatorname{E}(X^2)}{\left[\operatorname{E}(X)\right]^2} - 1$

Empirischer Variationskoeffizient

Liegt an Stelle der Verteilung der Zufallsvariablen eine konkrete Meßreihe von Werten $x_1,\dots,x_n$ vor, so bildet man analog den empirischen Variationskoeffizienten als Quotienten aus empirischer Standardabweichung s und arithmetischem Mittelwert $\bar{x}$:

$v=\frac{s}{\bar{x}}$.

Empirischer Quartilsdispersionskoeffizient

Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten

$v_r=\frac{x_{0,75}-x_{0,25}}{x_{0,5}},$

also der Interquartilsabstand dividiert durch den Median.