Verbundene Summe

Verbundene Summe

In der Geometrie und Topologie ist die Bildung der verbundenen oder zusammenhängenden Summe eine Möglichkeit, aus gegebenen Mannigfaltigkeiten neue, komplexere Mannigfaltigkeiten zusammenzusetzen oder umgekehrt komplexe Mannigfaltigkeiten als verbundene Summe von einfacheren zu zerlegen.

Verbundene Summe von A und B.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sind A und B zwei zusammenhängende m-dimensionale Mannigfaltigkeiten, so bezeichnet die verbundene Summe

A\#B

diejenige Mannigfaltigkeit, die durch Herausschneiden je eines m-Balles aus A und B und Zusammenkleben entlang der entstandenen Rand-(m-1)-Sphären entsteht.

Mathematische Eigenschaften

Wohldefiniertheit

Falls beide ursprünglichen Mannigfaltigkeiten orientiert sind, so wird die verbundene Summe eindeutig, indem man fordert, dass die Verklebeabbildung orientierungsumkehrend sein soll. Für die Konstruktion muss man zwar jeweils einen Ball auswählen, jedoch ist das Ergebnis (bis auf einen Homöomorphismus) das gleiche, egal wo der Ball herausgeschnitten wird.

Die verbundene Summe lässt sich auch auf die Kategorie der differenzierbare Mannigfaltigkeiten übertragen, indem man die Verklebung auf einem Kragen S^{m-1}\times [0,1] um die Randsphäre glatt definiert. Dabei erhält man Eindeutigkeit bis auf einen Diffeomorphismus.

Die Menge aller m-dimensionalen Mannigfaltigkeiten zusammen mit der Operation der verbundenen Summe bildet eine Halbgruppe mit der m-Sphäre als neutralem Element. Die verbundene Summe von M mit Sm ist also homöomorph zu M.

Flächen (2-Mannigfaltigkeiten)

Bei Flächen (2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten) bedeutet die oben beschriebene Konstruktion das Herausschneiden von je einer Scheibe und Verklebung am entstandenen eindimensionalen Rand.

Die verbundene Summe mit einem Torus ist dann äquivalent zum Hinzufügen eines Henkels, sie erhöht also das Geschlecht der Fläche um eins. Der Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten sagt aus, dass jede kompakte Fläche homöomorph zur verbundenen Summe von einer 2-Sphäre, einer Kleinschen Flasche oder des projektiven 2-dimensionalen Raumes mit Null oder mehr Tori ist.

Beispiele für Flächen:

  • Die verbundene Summe zweier Tori ist eine Sphäre mit 2 Henkeln, d.h. eine Fläche vom Geschlecht zwei.
  • Die verbundene Summe zweier projektiver Räume ist eine Kleinsche Flasche.

3-Mannigfaltigkeiten

Ein wichtiges Resultat in der 3-dimensionalen Topologie ist folgende Primzerlegungssatz von Helmut Kneser (1930):

Jede kompakte, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit ist die verbundene Summe einer eindeutigen Kollektion von primen 3-Mannigfaltigkeiten.

Eine Mannigfaltigkeit wird dabei als prim bezeichnet, wenn sie nicht als verbundene Summe zusammengesetzt werden kann außer auf die triviale Weise, d.h. als

P=P\#S^3.

Ist P eine prime 3-Mannigfaltigkeit, so ist sie entweder S^2\times S^1, das nicht-orientierbare S2-Bündel über S1 oder jede 2-Sphäre in P berandet einen Ball. Im letzten Fall heißt P irreduzibel.

Der Primzerlegungssatz gilt auch für nicht-orientierbare 3-Mannigfaltigkeiten, jedoch muss hierfür die Eindeutigkeitsaussage abgewandelt werden:

Jede kompakte, nicht-orientierbare 3-Mannigfaltigkeit ist die verbundene Summe eine Kollektion von irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten und nicht-orientierbaren S2-Bündeln über S1. Diese Summe ist eindeutig falls man fordert, dass jeder Summand entweder irreduzibel oder ein nicht-orientierbares S2-Bündel über S1 ist.

Der Beweis der beiden Theoreme benutzt die von Kneser entwickelte Normalflächentechnik.

Die Verbundene-Summen-Zerlegung spielt eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit der von William Thurston aufgestellten Geometrisierungsvermutung.

Literatur


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Zusammenhängende Summe — In der Geometrie und Topologie ist die Bildung der verbundenen oder zusammenhängenden Summe eine Möglichkeit, aus gegebenen Mannigfaltigkeiten neue, komplexere Mannigfaltigkeiten zusammenzusetzen oder umgekehrt komplexe Mannigfaltigkeiten als… …   Deutsch Wikipedia

  • Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten — Der Klassifikationssatz für 2 Mannigfaltigkeiten aus dem mathematischem Teilgebiet der Topologie sagt aus, in welche Klassen zusammenhängende 2 Mannigfaltigkeiten (auch Flächen genannt) eingeteilt werden können. Zusätzlich gibt er auch an, wie… …   Deutsch Wikipedia

  • Euler-Poincare-Charakteristik — Die Euler Charakteristik ist in der Topologie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Kennzahl für geschlossene Flächen. Flächen, die unter topologischen Gesichtspunkten als gleich angesehen werden, haben dieselbe Euler Charakteristik. Sie ist… …   Deutsch Wikipedia

  • Euler-Charakteristik — Die Euler Charakteristik ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine Kennzahl für geschlossene Flächen. Als Bezeichnung verwendet man üblicherweise χ. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Leonard Euler, der 1758 bewies, dass für E die… …   Deutsch Wikipedia

  • Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten — Die Idee der Geometrisierung wurde 1980 von William Thurston als ein Programm zur Klassifizierung geschlossener dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten vorgestellt. Das Ziel der Geometrisierung ist, nach der Zerlegung einer 3 Mannigfaltigkeit in… …   Deutsch Wikipedia

  • Ablebensversicherung — Dieser Artikel oder Absatz stellt die Situation in Deutschland dar. Hilf mit, die Situation in anderen Ländern zu schildern. Eine Lebensversicherung ist eine Versicherung, die das biometrische Risiko (meist Todesfall oder Langlebigkeit) der… …   Deutsch Wikipedia

  • Erlebensversicherung — Dieser Artikel oder Absatz stellt die Situation in Deutschland dar. Hilf mit, die Situation in anderen Ländern zu schildern. Eine Lebensversicherung ist eine Versicherung, die das biometrische Risiko (meist Todesfall oder Langlebigkeit) der… …   Deutsch Wikipedia

  • Fondsgebundene Lebensversicherung — Dieser Artikel oder Absatz stellt die Situation in Deutschland dar. Hilf mit, die Situation in anderen Ländern zu schildern. Eine Lebensversicherung ist eine Versicherung, die das biometrische Risiko (meist Todesfall oder Langlebigkeit) der… …   Deutsch Wikipedia

  • Fondsgebundene Rentenversicherung — Dieser Artikel oder Absatz stellt die Situation in Deutschland dar. Hilf mit, die Situation in anderen Ländern zu schildern. Eine Lebensversicherung ist eine Versicherung, die das biometrische Risiko (meist Todesfall oder Langlebigkeit) der… …   Deutsch Wikipedia

  • Kapitallebensversicherung — Dieser Artikel oder Absatz stellt die Situation in Deutschland dar. Hilf mit, die Situation in anderen Ländern zu schildern. Eine Lebensversicherung ist eine Versicherung, die das biometrische Risiko (meist Todesfall oder Langlebigkeit) der… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”