Verschiebungsstrom

Verschiebungsstrom (engl. displacement current) ist eine Bezeichnung aus der Elektrodynamik und stellt die Tatsache dar, dass die zeitliche Änderung eines elektrischen Feldes bzw. der elektrischen Flussdichte ein integraler Teil des totalen elektrischen Stromes ist. Der Begriff wurde von James Clerk Maxwell entwickelt und erweitert das ampèresche Gesetz um einen zusätzlichen Term.

Bedeutung und Zusammenhang

Der totale elektrische Strom (engl. true current oder total current) setzt sich grundsätzlich aus zwei additiven Komponenten zusammen:

1. Der Leitungsstrom I_l wird durch den Fluss von elektrischen Ladungsträgern wie Elektronen oder Ionen getragen. Er wird durch das elektrische Feld und die dadurch auf die Ladungsträger ausgeübten mechanischen Kräfte verursacht. Voraussetzung für die Bewegung der Ladungsträger ist meist das Vorhandensein eines elektrischen Leiters wie eines Metalls oder eines Elektrolyten. Als Sonderform ist auch ein Leitungsstrom im Vakuum durch freie Ladungsträger wie Elektronen möglich, wenn die mechanischen Kräfte auf die Ladungsträger zufolge des elektrischen Feldes hinreichend stark sind und daher Ladungsträger aus dem elektrischen Leiter austreten können (siehe Austrittsarbeit). Umgangssprachlich wird unter dem elektrischen Strom nur diese Komponente aufgrund des Ladungstransportes durch die elektrischen Feldkräfte verstanden.
2. Der Verschiebungsstrom I_v wird durch die zeitliche Änderungsrate des elektrischen Flusses bestimmt und ist nicht an die Existenz eines elektrischen Leiters gebunden. Der Verschiebungsstrom ist als ein Teil der Wirkung des elektrischen Feldes zu verstehen und drückt im Prinzip die zeitliche Änderungsrate des elektrischen Flusses aus. Dabei tritt an Stelle des Flusses von elektrischen Ladungsträgern der elektrische Fluss.

Mathematisch lässt sich der totale elektrische Strom I aus beiden Komponenten ausdrücken als:

I = I_l + I_v

Dadurch wird eine begriffliche Erweiterung des ampèreschen Durchflutungsgesetzes nötig, die den gesamten elektrischen Strom in der Form

$I = \int_A \left(\sigma \vec{E} + \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\vec{A}$

ausdrückt. Dabei stellt der erste Summand den Leitungsstrom dar, der von der elektrischen Feldstärke E ausgelöst wird. Die dabei auftretende Konstante σ stellt einen Ausdruck für die elektrische Leitfähigkeit in jenem Medium dar, in dem sich der Leitungsstrom ausbreitet. Man nennt solche Medien im Regelfall elektrische Leiter.

Der zweite Summand stellt den Verschiebungsstrom mit der zeitlichen Änderungsrate der elektrischen Feldstärke und der dielektrischen Leitfähigkeit ε dar. Die dielektrische Leitfähigkeit drückt die Eigenschaft eines Mediums zur Leitung des elektrischen Flusses aus. Daher fließt der Verschiebungsstrom vor allem in Materialien mit guter dielektrischer und schlechter elektrischer Leitfähigkeit. Man nennt Materialien mit jenen Stoffkonstanten auch Isolatoren. Als Sonderform mit nicht vorhandener elektrischer Leitfähigkeit, aber schwach vorhandener dielektrischer Leitfähigkeit ε₀, tritt dabei der leere Raum (Vakuum) in Erscheinung: In ihm breitet sich, abgesehen von freien elektrischen Ladungsträgern in Folge hoher Feldstärken, nur der Verschiebungsstrom aus.

Im allgemeinen Fall sind die beiden Stoffkonstanten der elektrischen bzw. dielektrischen Leitfähigkeit Tensoren 2. Stufe und beschreiben auch nichtlineare, nichtisotrope Abhängigkeiten des totalen elektrischen Stromes von der elektrischen Feldstärke. Dieses Faktum kann aber für das grundlegende Verständnis zunächst vernachlässigt werden und diese Konstanten vereinfacht als zwei Skalare betrachtet werden, die das jeweilige Ausbreitungsmedium der betreffenden Stromkomponente beschreiben.

Die Einteilung, ab wann in einem Medium der Leitungsstrom dominant ist und dieses Medium daher als elektrischer Leiter bezeichnet werden kann, bzw. ab wann in einem Medium der Verschiebungsstrom dominant ist, kann folglich aus den Größen der beiden Stoffkonstanten und, da bei der Komponente des Verschiebungsstromes die zeitliche Ableitung der elektrischen Feldstärke auftritt, durch die Kreisfrequenz ω abgeleitet werden. Allgemein gilt:

$\sigma \gg \omega \varepsilon$ Leitungsstrom dominant

$\sigma \ll \omega \varepsilon$ Verschiebungsstrom dominant

Typische elektrische Leiter wie Kupfer oder typische Isolatoren wie manche Kunststoffe (PVC) weisen von der Frequenz unabhängige Stoffkonstanten auf. Bei Leitern wie Kupfer überwiegt bis zu sehr hohen Frequenzen (im Röntgenbereich, siehe Plasmaoszillation) der Leitungsstrom gegenüber dem Verschiebungsstrom. Hingegen gibt es bestimmte Stoffe wie Ionenleiter (Salzwasser), die in ihren Stoffkonstanten eine starke Frequenzabhängigkeit zeigen. Es hängt daher von der jeweiligen Frequenz (zeitliche Änderungsrate des elektrischen Feldes) ab, ob der betreffende Stoff zu den Leitern oder Nichtleitern gezählt wird und welche der beiden Stromkomponenten darin dominiert.

Als besondere Form ist bei zeitlichen harmonischen (sinusförmigen) Änderungen im gleichen Medium der Verschiebungsstrom gegenüber dem Leitungsstrom immer um 90° Grad (π/2) phasenverschoben. Hingegen ist in einem Stromkreis, der durch einen Isolator unterbrochen ist, sowohl der im Isolator dominierende Verschiebungsstrom als auch der im elektrischen Leiter dominierende Leitungsstrom zueinander in Phase und die beiden Ströme sind betragsmäßig praktisch gleich. Dieser technisch wichtige Fall tritt beim Kondensator im sinusförmigen Wechselstromkreis in Erscheinung: Der Strom in den Zuleitungsdrähten und den Kondensatorplatten (elektrischer Leiter) wird durch den Leitungsstrom getragen, der Strom durch das Dielektrikum (Isolator) zwischen den Kondensatorplatten primär durch den Verschiebungsstrom. Ohne Verschiebungsstrom wäre keine Stromleitung durch den Kondensator möglich - wenngleich diese Stromleitung durch den Verschiebungsstrom wegen der nötigen zeitlichen Änderungsrate beim elektrischen Fluss immer auf Wechselströme (zeitliche Änderung) limitiert ist.

Historische Entwicklung

Herleitung eines Widerspruchs

Zur Herleitung des Verschiebungsstroms: S₁ (hellblau) und S₂ (hellrot) haben den gleichen Rand ∂S, so dass das Ampèresche Gesetz für beide Flächen zum gleichen Ergebnis führen sollte. Durch die Kreisfläche S₁ fließt der Leitungsstrom I und erzeugt ein Magnetfeld, während durch die Fläche S₂ kein Leitungsstrom fließt und demnach kein Magnetfeld vorliegt. Das Ergebnis des Ampèreschen Gesetzes hinge also von der Form der Oberfläche ab. Die Einführung des Verschiebungsstroms löst diesen Widerspruch auf.

Als Maxwell die bis dahin von anderen Physikern wie Ampère und Faraday zusammengetragenen Erkenntnisse über elektromagnetische Phänomene in den Maxwellschen Gleichungen zu vereinen suchte, wurde ihm klar, dass das Ampèresche Gesetz über die Erzeugung von Magnetfeldern durch Ströme nicht vollständig sein konnte.

Diese Tatsache wird durch ein einfaches Gedankenexperiment klar. Ein Strom I fließe durch einen langen Draht, in dem ein Kondensator liegt. Das Ampèresche Gesetz

$\oint_S \vec{B} \cdot \;\mathrm{d}\vec{s} = \mu_0 I$

besagt nun, dass das Wegintegral des Magnetfelds entlang eines beliebigen Weges um den Draht proportional zu dem Strom ist, der durch eine von diesem Weg aufgespannte Fläche fließt. Auch die differentielle Form

$\operatorname{rot}\,\vec B = \mu_0 \vec J$

verlangt, dass die Wahl dieser aufgespannten Fläche beliebig ist. Nun habe der Integrationsweg die einfachste mögliche Form, ein Kreis um die Längsachse des Drahts (in der Grafik mit ∂S bezeichnet). Die natürlichste Wahl der durch diesen Kreis aufgespannten Fläche ist offenbar die Kreisfläche S₁. Wie erwartet schneidet diese Kreisfläche den Draht, somit ist der Strom durch die Fläche I. Aus der Symmetrie des Drahtes ergibt sich entsprechend das Magnetfeld des langen Drahtes, dessen Feldlinien Kreisbahnen um die Längsachse sind.

Auch wenn man die Fläche beliebig „ausbeult“ oder „aufbläst“, fließt durch sie immer noch der gleiche Strom – es sei denn, man dehnt sie soweit aus, dass sie die Längsachse des Drahtes zwischen den beiden Kondensatorplatten schneidet (Fläche S₂). Dort fließt selbstverständlich kein Strom, also ist das Magnetfeld des Drahtes null, offensichtlich im Widerspruch zum gerade besprochenen Ergebnis. Maxwell ging davon aus, dass das Ampèresche Gesetz nicht falsch, sondern nur unvollständig ist.

Auflösung

Durch den Kondensator fließt kein Strom, aber das elektrische Feld und damit der elektrische Fluss ändert sich beim Aufladen des Kondensators (es ist das elektrische Feld D ohne Einflüsse durch dielektrische Materie gemeint; in der Grafik mit E bezeichnet). Maxwell definierte einen Verschiebungsstrom nun als die Änderung des elektrischen Flusses durch die gegebene Oberfläche. Der Verschiebungsstrom ist daher kein Strom, bei dem Ladung transportiert wird. Vielmehr ist es eine anschauliche Bezeichnung für eben diese Änderung des elektrischen Flusses, da sie offenbar die gleiche Wirkung hat wie ein richtiger Strom.

Mathematische Herleitung

Integrale Form

Der Verschiebungsstrom, die Änderung des elektrischen Flusses durch eine Oberfläche A, ist definiert durch

$I_\mathrm{v} = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{\partial \Phi}{\partial t}$,		(1)

wobei der elektrische Fluss definiert ist durch

$\Phi = \iint_A \vec E \cdot \;d \vec A$.		(2)

Der Vorfaktor, bestehend aus den beiden Dielektrizitätskonstanten, eliminiert hierbei dielektrische Effekte, da für das elektrische Feld, das von diesen unberührt bleibt und nur von Ladungen ausgeht, gilt

$\vec D = \varepsilon \varepsilon_0 \vec E$		(3)

mit der Dielektrizitätskonstante des Vakuums und der Konstante der entsprechenden Materie.

Analog gilt für das von dia- und paramagnetischen Effekten unberührte magnetische Feld

$\vec H = \frac{1}{\mu_0} \vec B$.		(4)

(Es handelt sich hier um eine Vereinfachung. In Materie gilt, berücksichtigt man Dia- und Paramagnetismus, $\vec B = \mu_\mathrm{r} \mu_0 \vec H$ mit der magnetischen Permeabilität μ_r. In ferromagnetischen Materialien gilt aber kein linearer Zusammenhang mehr. Weil es für das Problem dieses Artikels nicht relevant ist, bleibt also hier die Vereinfachung auf das Vakuum.)

Außerdem kann bekanntlich der (tatsächliche) Strom I durch einen Leiter als Oberflächenintegral einer Stromdichte j dargestellt werden:

$I = \iint_A \vec J \cdot \;d \vec A$		(5)

Mit dieser Vorbereitung erhält man

$I_\mathrm{v} \;\stackrel{(1)}{=}\; \varepsilon \varepsilon_0 \frac{\partial \Phi}{\partial t}$		(6)

$\;\stackrel{(2)}{=}\; \varepsilon \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \iint_A \vec E \cdot \;d \vec A$$\;\stackrel{(3)}{=}\;\frac{\partial}{\partial t} \iint_A \vec D \cdot \;d \vec A = \iint_A \frac{\partial \vec D}{\partial t} \;d \vec A$.

Dieser Verschiebungsstrom muss nun in das im ersten Abschnitt zitierte Ampère'sche Gesetz eingefügt werden:

$\oint_S \vec{B} \cdot \;\mathrm{d}\vec{s} = \mu_0 (I + I_\mathrm{v})$$\quad \Leftrightarrow \quad \oint_S \frac{1}{\mu_0} \vec{B} \cdot \;\mathrm{d}\vec{s} = I + I_\mathrm{v}$$\quad\stackrel{(4),(6)}{\Leftrightarrow} \quad \oint_S \vec{H} \cdot \;\mathrm{d}\vec{s} = I + \iint_A \frac{\partial \vec D}{\partial t } \;d \vec A$$\quad\stackrel{(5)}{\Leftrightarrow}\quad \oint_S \vec{H} \cdot \;\mathrm{d}\vec{s} = \iint_A \vec J \cdot \;d \vec A + \iint_A \frac{\partial \vec D}{\partial t} \cdot \;d \vec A$

$\Leftrightarrow \quad \oint_S \vec{H} \cdot \;\mathrm{d}\vec{s} = \iint_A \left(\vec J + \frac{\partial \vec D}{\partial t} \right) \;d \vec A$

womit die integrale Form der vierten Maxwellschen Gleichung erreicht ist.

Differentielle Form

Für die differentielle Formulierung fehlt nur noch die Definition einer Verschiebungsstromdichte für den Verschiebungsstrom analog zum Betrag der Stromdichte J des tatsächlichen Stromes I:

$\vec J_\mathrm{v} = \frac{\partial \vec D}{\partial t}$.		(7)

Man erhält

$\operatorname{rot} \vec B = \mu_0 \left(\vec J_\mathrm{l} + \vec J_\mathrm{v}\right) \quad \Leftrightarrow \quad \operatorname{rot} \frac{1}{\mu_0} \vec B = \vec J_\mathrm{l} + \vec J_\mathrm{v}$

$\stackrel{(4),(7)}{\Leftrightarrow} \quad \operatorname{rot} \vec H = \vec J + \frac{\partial \vec D}{\partial t}$,

die differentielle Form der vierten Maxwellschen Gleichung.