Vorzeichenwechsel

Illustration: Vorzeichenwechsel bei stetigen Funktionen

In der Analysis bezeichnet ein Vorzeichenwechsel bei einer reellwertigen Funktion einen Wechsel des Vorzeichens der Funktionswerte, meist innerhalb eines Intervalls.

Ist die Funktion $f: [a,b] \to \mathbb R$ stetig, so liefert der Zwischenwertsatz Folgendes: Hat f einen Vorzeichenwechsel, das heißt, existieren $c,d \in [a,b]$ mit f(c) < 0 und f(d) > 0 oder umgekehrt, so hat f eine Nullstelle zwischen c und d. Bildlich durchdringt dort der Funktionsgraph die x-Achse. Wenn f stetig ist, so ist der Ort eines Vorzeichenwechsels daher stets eine Nullstelle, die Umkehrung gilt allerdings nicht: es gibt Nullstellen ohne Vorzeichenwechsel, an denen der Funktionsgraph die x-Achse nur tangiert, aber nicht durchdringt. Dann liegt ein lokales Extremum vor. Generell kommt es nur bei Nullstellen ungerader Vielfachheit zu einem Vorzeichenwechsel.

Für nicht stetige Funktionen kann ein Vorzeichenwechsel auch durch eine Polstelle ungerader Ordnung verursacht werden.

Es gibt zwei Arten von Vorzeichenwechseln: von plus nach minus und umgekehrt von minus nach plus, orientiert an der kleiner-Relation der reellen Zahlen.

Definition der zwei Arten von Vorzeichenwechseln

• f hat einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus an der Stelle x = a, wenn $f(a-\epsilon)>0$ sowie $f(a+\epsilon)<0$ für alle $0 < \epsilon < \delta$ bei ausreichend kleinem aber positivem δ.
• f hat einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus an der Stelle x = a, wenn $f(a-\epsilon)<0$ sowie $f(a+\epsilon)>0$ für alle 0 < ε < δ bei ausreichend kleinem aber positivem δ.

Siehe auch: Kurvendiskussion