Extremale Lösung

In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Überbegriff für lokales und globales Maximum und Minimum. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt.

Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt, für ein lokales Maximum wird auch der Begriff relatives Maximum gebraucht. Lokale und globale Minima sind analog definiert.

Die Lösung einer Extremwertaufgabe nennt man die extremale Lösung.

Eindimensionaler Fall

Formale Definition

Es sei $U\subseteq\mathbb R$ eine Teilmenge der Reellen Zahlen (z.B. ein Intervall) und $f\colon U\to\mathbb R$ eine Funktion.

f hat an der Stelle $x_0\in U$

• ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall I = (a,b) gibt, das x₀ enthält, so dass $f(x_0)\leq f(x)$ für alle $x\in I\cap U$ gilt;
• ein globales Minimum, wenn $f(x_0)\leq f(x)$ für alle $x\in U$ gilt;
• ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall I = (a,b) gibt, das x₀ enthält, so dass $f(x_0)\geq f(x)$ für alle $x\in I\cap U$ gilt;
• ein globales Maximum, wenn $f(x_0)\geq f(x)$ für alle $x\in U$ gilt.

Existenz von Extrema

Ist $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ eine stetige Funktion, so besitzt f auf [a,b] ein Maximum und ein Minimum. Diese können auch in den Randpunkten a oder b angenommen werden.

Diese Aussage folgt aus dem Satz von Heine-Borel, wird aber oft auch nach K. Weierstraß oder B. Bolzano benannt.

Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen

Es sei $U\subseteq\mathbb R$ offen, und $f\colon U\to\mathbb R$ sei differenzierbar.

Notwendiges Kriterium

Hat f an einer Stelle x₀ ein lokales Extremum und ist dort differenzierbar, so ist dort die erste Ableitung gleich null:

$f'(x_0)=0\,$.

Hinreichende Kriterien

• Ist f zweimal differenzierbar, und gilt neben $f'(x_0)=0\,$ auch $f''(x_0)\neq0$, so hat f ein lokales Extremum. Ist $f''(x_0)>0\,$ und $f'(x_0)=0\,$, so handelt es sich um ein lokales Minimum, ist $f''(x_0)<0\,$ und $f'(x_0)=0\,$, um ein lokales Maximum.

• Allgemeiner: f sei (n + 1)-mal differenzierbar, und es gelte

$f'(x_0)=f''(x_0)=\ldots=f^{(n)}(x_0)=0\,$ und $f^{(n+1)}(x_0)\ne0.$

Dann gilt:

(1) Falls n ungerade ist und f^{(n + 1)}(x₀) < 0 (bzw. f^{(n + 1)}(x₀) > 0), so hat f bei x₀ ein relatives Maximum (bzw. Minimum).

(2) Falls n gerade ist, so hat f bei x₀ kein lokales Extremum.

(Man vergleiche hierzu Funktionen der Form: f(x) = xⁿ, $n\in \mathbb N$.)

• Hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel bei x₀, so liegt ein Extremum vor. Bei einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus handelt es sich um ein Maximum, bei einem Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus um ein Minimum.

• Für stetige Funktionen auf Intervallen gilt: Zwischen zwei lokalen Minima einer Funktion liegt stets ein lokales Maximum, und zwischen zwei lokalen Maxima liegt stets ein lokales Minimum.

• Für differenzierbare Funktionen auf Intervallen gilt: Gibt es zwei Stellen a,b mit a < x₀ < b, so dass die erste Ableitung im Intervall (a,b) nur die Nullstelle x₀ hat, und ist f(a) > f(x₀) sowie f(b) > f(x₀), so hat f bei x₀ ein lokales Minimum. Gilt die analoge Bedingung mit f(a) < f(x₀) und f(b) < f(x₀), so hat f bei x₀ ein lokales Maximum.

Es gibt allerdings auch Funktionen, für die keines dieser Kriterien weiterhilft.

Beispiele

• f(x) = x² + 3. Die erste Ableitung f'(x) = 2x hat nur bei x₀ = 0 eine Nullstelle. Die zweite Ableitung f''(x) = 2 ist dort positiv, also nimmt f bei 0 ein lokales Minimum an, nämlich f(0) = 3.

• f(x) = x⁴ + 3. Die erste Ableitung f'(x) = 4x³ hat nur bei x₀ = 0 eine Nullstelle. Die zweite Ableitung f''(x) = 12x² ist dort ebenfalls 0. Man kann nun auf verschiedene Arten fortfahren:

• Auch die dritte Ableitung f'''(x) = 24x ist dort 0. Die vierte Ableitung hingegen ist mit f⁽⁴⁾(x) = 24 die erste höhere Ableitung, die nicht 0 ist. Da diese Ableitung einen positiven Wert hat und die vorherige Ableitung ungerade ist, gilt nach (1), dass die Funktion dort ein lokales Minimum besitzt.
• Die erste Ableitung hat bei 0 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus, also hat f bei x₀ = 0 ein lokales Minimum.
• Es ist f( − 1) = f(1) = 4 > 3 = f(0), also hat f im Intervall ( − 1,1) ein lokales Minimum. Da die erste Ableitung in diesem Intervall nur die Nullstelle x₀ = 0 hat, muss das lokale Minimum dort angenommen werden.

• Die Funktion, die durch $f(x)=\mathrm e^{-1/x^2}\sin^2\frac1{x^2}$ für $x\ne0$ und durch f(0) = 0 definiert ist, hat die folgenden Eigenschaften:
  • Sie hat bei x = 0 ein globales Minimum.
  • Sie ist beliebig oft differenzierbar.
  • Alle Ableitungen bei x = 0 sind gleich 0.
  • Die erste Ableitung hat keinen Vorzeichenwechsel bei 0.
  • Auch die anderen beiden oben genannten Kriterien sind nicht anwendbar.

Anwendungsbeispiel

In der Praxis können Extremwert-Berechnungen zur Berechnung von größt- oder kleinstmöglichen Vorgaben verwendet werden, wie das folgende Beispiel zeigt (siehe auch Optimierungsproblem):

• Wie muss eine rechteckige Fläche aussehen, die bei einem bestimmten Umfang eine maximale Fläche hat?

Lösungsweg:

Der Umfang U ist konstant, die Fläche A soll maximiert werden, a ist die Länge und b die Breite:

$1)\qquad U=2(a+b) \Rightarrow b=\frac{U}{2}-a$

$2)\qquad A=a\cdot b$

1) in 2) einsetzen und umformen

$A(a)=-a^2+\frac{1}{2}Ua$

Ableitungsfunktionen bilden

$A'(a)=-2a+\frac{1}{2}U$

$A''(a)=-2\qquad \Rightarrow$ Hochpunkt der Funktion

Es gibt nur ein lokales Maximum, welches in dem vorliegenden Beispiel (ohne Nachweis) zugleich auch das globale Maximum ist, da die zweite Ableitung unabhängig von der Variablen immer kleiner als Null ist.

Um einen Extremwert zu finden, muss die erste Ableitung gleich Null gesetzt werden (da diese die Steigung der ursprünglichen Funktion beschreibt und diese Steigung bei Extremwerten Null ist. Die zweite Ableitung der Funktion muss ungleich Null sein, damit ein Minimum oder Maximum vorliegt).

$A'(a)=-2a+\frac{1}{2}U=0\Rightarrow$

$a=\frac{1}{4}U\ \Rightarrow\ U=4a$

Einsetzen in 1)

$4a=2(a+b)\ \Rightarrow \ a = b$

Es folgt daraus, dass der größtmögliche Flächeninhalt eines Rechtecks bei vorgegebenen Umfang dann zu erzielen ist, wenn beide Seitenlängen gleich sind (was einem Quadrat entspricht).

Mehrdimensionaler Fall

Es sei $U\subseteq\mathbb R^n$ und $f\colon U\to\mathbb R$ eine Funktion. Weiterhin sei x ein innerer Punkt von U. Dann ist analog zum eindimensionalen Fall das Verschwinden der Ableitung $Df(x)=(\mathrm{grad}\,f(x))^T$ eine notwendige Bedingung dafür, dass f im Punkt x ein Extremum annimmt. Hinreichend ist in diesem Fall die Definitheit der Hesse-Matrix D²f(x): ist sie positiv definit, liegt ein Minimum vor, ist sie negativ definit, handelt es sich um ein Maximum, ist sie indefinit liegt kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt, vor. Wenn sie nur semidefinit ist, ist keine Entscheidung möglich.

Andere Extremwerte

Allgemeine Definition lokaler Extrema für reelle Funktionen auf topologischen Räumen

Sei X ein topologischer Raum und $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Eine Stelle $x_{\mathrm{max}}\in X$ ist eine lokale Maximumstelle von f und y_max: = f(x_max) ein lokales Maximum von f, wenn es eine Umgebung U von x_max gibt, so dass

$f(x) \leq y_{\mathrm{max}}$

für alle $x\in U$ gilt. Lokale Minima sind analog definiert.

Diskrete Optimierung

Bei diskreten Optimierungsproblemen ist der oben definierte Begriff des lokalen Extremums nicht geeignet, da in jedem Punkt ein lokales Extremum in diesem Sinne vorliegt. Für Extrema einer Funktion $f\colon D\to\mathbb R$ wird von daher ein anderer Umgebungsbegriff verwendet: Man benutzt eine Nachbarschaftsfunktion N, die jedem Punkt die Menge seiner Nachbarn zuordnet,

$N\colon D\to\mathcal P(D);$

dabei steht $\mathcal P(D)$ für die Potenzmenge von D.

f hat dann ein lokales Maximum in einem Punkt $x_0\in D$, wenn $f(x)\leq f(x_0)$ für alle Nachbarn $x\in N(x_0)$ gilt. Lokale Minima sind analog definiert.

Variationsrechnung

Extremwerte von Funktionen, deren Argumente selbst Funktionen sind, sind Gegenstand der Variationsrechnung.

Siehe auch

• Optimum
• arg max

Weblinks

• Extremwerte (erklärt für Schüler)