Yoneda-Lemma

Yoneda-Lemma

Das Yoneda-Lemma, nach Nobuo Yoneda, ist eine mathematische Aussage aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt die Menge der natürlichen Transformationen zwischen einem Hom-Funktor und einem weiteren Funktor.

Inhaltsverzeichnis

Motivation

Es seien {\mathcal C} eine Kategorie, Set die Kategorie der Mengen und T:{\mathcal C}\rightarrow \mbox{Set} ein Funktor. Für jedes Objekt X der Kategorie {\mathcal C} hat man den Hom-Funktor H^X: {\mathcal C}\rightarrow \mbox{Set} der für Objekte Y\in \mbox{Ob}({\mathcal C}) und Morphismen (f:Y\rightarrow Z) \in \mbox{Mor}({\mathcal C}) wie folgt definiert ist:

  • H^X(Y) := \mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,Y), wobei \mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,Y) eine in diesem Zusammenhang übliche alternative Schreibweise für \mbox{Mor}_{\mathcal C}(X,Y) ist.
  • H^X(f): H^X(Y)\rightarrow H^X(Z), \, g\mapsto f\circ g.

Hat man zusätzliche Strukturen auf den Morphismenmengen, wie zum Beispiel im Falle abelscher Kategorien, so ersetzt man die Zielkategorie Set des Hom-Funktors gerne durch eine entsprechende Kategorie, etwa durch die Kategorie Ab der abelschen Gruppen. Um dann wieder auf die hier betrachtete Situation zu kommen, hat man lediglich den Vergissfunktor \mbox{Ab}\rightarrow \mbox{Set} hinterzuschalten.

Man kann nun die Frage stellen, welche natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren HX und T von {\mathcal C} nach Set bestehen. Hier gibt das folgende Yoneda-Lemma eine Antwort:

Yoneda-Lemma

  • Sind T:{\mathcal C}\rightarrow \mbox{Set} ein Funktor und X ein Objekt aus {\mathcal C}, so ist \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X) eine Bijektion von der Menge aller natürlichen Transformationen \eta: H^X\rightarrow T in die Menge T(X).

Dazu beachte man, dass eine natürliche Transformation \eta: H^X\rightarrow T definitionsgemäß jedem Objekt Y aus {\mathcal C} einen Morphismus \eta_Y:H^X(Y)\rightarrow T(Y) zuordnet, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe natürliche Transformation). Insbesondere hat man einen Morphismus \eta_X:H^X(X)\rightarrow T(X) in der Kategorie Set (das heißt einfach eine Abbildung), also kann man tatsächlich ηX(idX) wie in obigem Lemma bilden und erhält ein Element aus T(X). Daher ist die Abbildung {\mathcal Y}: \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X) wohldefiniert; man nennt sie auch die Yoneda-Abbildung.

Der Beweis ist einfach und beleuchtet die Situation im Yoneda-Lemma; daher wird er hier wiedergegeben: Ist \eta: H^X\rightarrow T eine natürliche Transformation, Y ein Objekt aus {\mathcal C} und f\in H^X(Y), das heißt f ist ein {\mathcal C}-Morphismus X\rightarrow Y, so ist das folgende Diagramm nach Definition der natürlichen Transformation kommutativ:


  \begin{array}{ccc} 
    H^X(X)=\mbox{Hom}(X,X) & \stackrel{\eta_X}{\longrightarrow} & T(X)\\
    \downarrow_{H^X(f)} & &  \downarrow_{T(f)}\\
    H^X(Y)=\mbox{Hom}(X,Y) & \stackrel{\eta_Y}{\longrightarrow} & T(Y)
  \end{array}


Daraus ergibt sich \eta_Y(f) = \eta_Y(f\circ \mbox{id}_X) = (\eta_Y\circ H^X(f))(\mbox{id}_X) = (T(f)\circ \eta_X)(\mbox{id}_X) = T(f)(\eta_X(\mbox{id}_X)) .

Daher ist ηY durch T und ηX(idX) bereits eindeutig festgelegt, woraus sich die Injektivität der Yoneda-Abbildung ergibt. Diese Formel wird auch zur Surjektivität herangezogen. Ist nämlich w \in T(X), so definiere man für jedes Objekt Y aus {\mathcal C} die Abbildung \eta_Y:H^X(Y)\rightarrow T(Y) durch \eta_Y(f)\,:=\,T(f)(w). Dann kann man nachrechnen, dass dadurch eine natürliche Transformation η von HX nach T definiert wird, die unter der Yonada-Abbildung auf w abgebildet wird.

Yoneda-Einbettung

Als eine einfache Anwendung des Yoneda-Lemmas wird hier die Yoneda-Einbettung behandelt. Ist {\mathcal C} eine Kategorie, so bezeichne [{\mathcal C},\mbox{Set}] die Kategorie der Funktoren HX mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Man beachte dazu, dass die natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren HX und HY nach dem Yoneda-Lemma eine Menge bilden, es liegt also tatsächlich eine Kategorie vor. Weiter sei mit {\mathcal C}^{op} die duale Kategorie bezeichnet. In dieser Situation definiere man den Funktor H^*:{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}] durch folgende Daten:

  • H * (X): = HX, die Funktoren HX sind die Objekte in [{\mathcal C},\mbox{Set}].
  • Für einen Morphismus f:X\rightarrow Y sei H^*(f):H^X \rightarrow H^Y definiert durch H^*(f)_Z: H^X(Z)\rightarrow H^Y(Z),\, g\mapsto g\circ f, wobei Z\in \mbox{Ob}({\mathcal C}). Dann ist H * (f) eine natürliche Transformation, also ein Morphismus in [{\mathcal C},\mbox{Set}].

Leicht prüft man nach, dass hierdurch tatsächlich ein Funktor H^*:{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}] definiert ist. Dabei ist auf der linken Seite die duale Kategorie gewählt, da sonst f „in die falsche Richtung“ laufen würde. Es gilt nun

Vertauscht man die Rollen von {\mathcal C} und {\mathcal C}^{op}, so erhält man eine volltreue Einbettung {\mathcal C} \rightarrow [{\mathcal C}^{op},\mbox{Set}].

Der Beweis besteht in einer Anwendung des Yoneda-Lemmas. Zur Volltreue muss gezeigt werden, dass die Abbildungen

H^*_{X,Y}: \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y) \rightarrow \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X, H^*Y),\, f\mapsto H^*(f)

bijektiv sind. Für \eta \in \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X,H^*Y), das heißt für eine natürliche Transformation \eta: H^X\rightarrow H^Y, ist {\mathcal Y}(\eta) \in H^Y(X) = \mbox{Hom}_{\mathcal C}(Y,X) = \mbox{Hom}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y) , das heißt die Yoneda-Abbildung definiert eine Abbildung

 {\mathcal Y}_{X,Y}: \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X,H^*Y) \rightarrow \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y), \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X) .

Da diese Abbildung nach dem Yoneda-Lemma bijektiv ist, und weil für alle f\in \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y) folgendes gilt: {\mathcal Y}_{X,Y}H^*_{X,Y}(f) = {\mathcal Y}_{X,Y}(H^*(f)) = H^*(f)_X(\mbox{id}_X) = \mbox{id}_X \circ f = f,

ist H^*_{X,Y}={\mathcal Y}_{X,Y}^{-1} und daher ebenfalls bijektiv. Deshalb ist H * volltreu.

Um einzusehen, dass H * sogar eine Einbettung ist, muss die Injektivität des Funktors auf der Klasse der Objekte gezeigt werden (siehe Artikel treuer Funktor). Sind X und Y zwei verschiedene Objekte aus \mbox{Ob}({\mathcal C}^{op}) , so gilt \mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,X) \cap \mbox{Hom}_{\mathcal C}(Y,X) = \emptyset , weil ein Morphismus nicht zwei verschiedene Definitionsbereiche haben kann, und daraus folgt H^X\not=H^Y, das heißt H^*(X)\not=H^*(Y). Daher ist H * auch eine Einbettung.

Literatur

  • Schubert, Horst: Kategorien I/II, Springer, 1970.

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