Kommutatives Diagramm

In der Mathematik stellt ein kommutatives Diagramm dar, dass verschiedene Verkettungen von Abbildungen das gleiche Ergebnis liefern.

Eine Abbildung f von A nach B kann durch einen Pfeil dargestellt werden.

Die Verkettung mit einer weiteren Abbildung g von B nach C kann durch das Aneinanderhängen der Pfeile ausgedrückt werden. Eine solche Verkettung von Pfeilen nennt sich Diagramm.

Will man dieser Verkettung einen Namen geben, so kann man einen weiteren Pfeil von A nach C einzeichnen und entsprechend beschriften.

Es wäre auch denkbar, dass h eine beliebige Abbildung von A nach C ist, wenn sie jedoch tatsächlich mit der Verkettung $g \circ f$ übereinstimmt, sagt man, dass das Diagramm kommutiert.

Allgemein müssen, damit ein Diagramm kommutiert, für alle Wege von X nach Y die Verkettungen der zugehörigen Abbildungen übereinstimmen.

Kurz gefasst: Ein Diagramm kommutiert, „wenn es egal ist, welchen Weg man wählt“.

Beispiele

Dieses Diagramm kommutiert genau dann, wenn $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}$ und $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}$ gilt. Das sind genau die Bedingungen, dafür dass f ^{− 1} die zu f inverse Abbildung ist.

μ bezeichnet in diesem Diagramm die Multiplikation, das heißt μ(x,y) = xy. Das Diagramm kommutiert somit genau dann, wenn x(yz) = (xy)z gilt, es drückt also das Assoziativgesetz der Multiplikation reeller Zahlen aus.

Diagrammjagd

Die Diagrammjagd ist ein Beweisverfahren, das besonders in der homologischen Algebra verwendet wird. Anhand eines gegebenen kommutativen Diagrammes werden formale Eigenschaften von Abbildungen (beispielsweise Injektivität, Surjektivität oder Exaktheit) benutzt. Man „jagt“ hierbei Elemente der Objekte durch das Diagramm, um schließlich das gewünschte Resultat zu erzielen. Das Diagramm dient hierbei lediglich als Hilfsmittel der Visualisierung eines formal auch ohne dieses gültigen Beweises.

Beispiele für Diagrammjagden sind die üblichen Beweise des Fünferlemmas, des Schlangenlemmas, des Zick-Zack-Lemmas oder des Neunerlemmas.

Man beachte, dass ein Beweis durch Diagrammjagd unmittelbar nur gültig ist in Kategorien, deren Objekte Mengen (mit Zusatzstruktur) und deren Morphismen gewisse Abbildungen zwischen diesen Mengen sind, die wie üblich durch Hintereinanderausführung verknüpft werden, usw. Für allgemeinere Kategorien kann man entweder den Einbettungssatz von Mitchell bemühen, der es erlaubt, jede (kleine) abelsche Kategorie als eine solche konkrete Kategorie von Moduln aufzufassen, oder aber statt Elementen Äquivalenzklassen von Morphismen mit dem entsprechenden Ziel verwenden; die Rechenregeln sind dieselben wie für Elemente.

Nutzt man Diagrammjagd zur Konstruktion von Abbildungen, so sind diese im allgemeinen „natürlich“: Hat man zwei Exemplare des Diagramms, jedoch mit verschiedenen Objekten und Homomorphismen sowie einen Homomorphismus zwischen diesen Diagrammen (d.h. Homomorphismen von allen Objekten des einen Diagramms jeweils zum entsprechenden Objekt des zweiten Diagramms derart, dass alle entstehenden Maschen kommutativ sind), so werden auch die beiden konstruierten Abbildungen mit diesen Homomorphismen kommutieren.

Weblinks

 Commons: Commutative diagrams – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien