Bilineare Transformation (Signalverarbeitung)

Die bilineare Transformation, im englischen Sprachraum auch als Tustin's Method bezeichnet, ist in der Signalverarbeitung eine Transformation zwischen der zeitkontinuierlichen und der zeitdiskreten Darstellung von Systemfunktionen. Sie spielt in der digitalen Signalverarbeitung und der Regelungstheorie eine Rolle, da sie einen Bezug in der Systembeschreibung zwischen analogen, kontinuierlichen Systemen und digitalen, diskreten Systemen herstellt.

Motivation

In der Signalverarbeitung und Regelungstechnik besteht mittels bilinearer Transformation die Möglichkeit, zeitkontinuierliche Übertragungsfunktionen G(s) von linearen, zeitinvarianten Systemen in zeitdiskrete Übertragungsfunktionen H[z] mit ähnlichen Verhalten umzuwandeln. Die Transformation kann in beide Richtungen erfolgen. Die Übertragungsfunktion G(s) kann beispielsweise ein analoges Filter beschreiben und H[z] stellt eine aus dem analogen Filter abgeleitete, zeitdiskrete Übertragungsfunktion dar, welche ein äquivalentes digitales Filter beschreibt.

Die Beschreibung der Systemfunktionen von zeitkontinuierlichen Systemen erfolgt in der so genannten s-Ebene und ihre Analyse erfolgt mittels der Laplace-Transformation. Bei zeitdiskreten Systemen erfolgt die Darstellung in der so genannten z-Ebene und die Analyse erfolgt mittels der Z-Transformation. Eine mögliche Transformation von Systemen zwischen der s- und z-Ebene besteht in Form der bilinearen Transformation. Die bilineare Transformation bietet gegenüber anderen Verfahren wie der Impulsinvarianzmethode den Vorteil Alias-Effekte im zeitdiskreten System zu vermeiden. Der damit verknüpfte Nachteil ist eine nichtlineare Verzerrung bei dem Übergang der Übertragungsfunktionen von G(s) zu H[z].

Beschreibung

Zuordnung der s- und z-Ebene bei der bilinearen Transformation. Die färbigen Linien entsprechen beispielhaften Zuordnungen zwischen den beiden komplexen Ebenen

Die bilineare Transformation ist eine konforme Abbildung und eine Anwendung der Möbiustransformation. Sie ordnet jedem Punkt s = σ + j·Ω in der komplexen S-Ebene eindeutig einem bestimmten Punkt in der komplexen z-Ebene zu und umgekehrt, wie in nebenstehender Abbildung für verschiedene Werte von σ und Ω grafisch dargestellt. Beispielsweise werden die Werte auf der imaginäre Achse Ω, in rot dargestellt, am Einheitskreis |z| = 1 in der z-Ebene abgebildet. Alle Punkte in der linken s-Ebene mit negativen Realwert werden in der z-Ebene innerhalb des rot eingezeichneten Einheitskreises abgebildet – dieser Umstand ist für Stabilitätsuntersuchungen linearer Systeme wesentlich, da stabile Systeme mit Polstellen in der linken s-Ebene in zeitdiskrete Systeme mit Polstellen innerhalb des Einheitskreises übergehen.

Die zeitkontinuierliche Systemfunktion G(s) korrespondiert bei der bilinearen Transformation mit der zeitdiskreten Systemfunktion H[z] durch die Substition der Variablen z in der Form:

$s = \frac{2}{T} \cdot \frac{z-1}{z+1}= \frac{2}{T} \cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$

was bedeutet:

$H(z) = G\left[ \frac{2}{T} \cdot \frac{z-1}{z+1} \right]$

Der Parameter T stellt das zeitliche Abtastintervall (Periodendauer) dar. Der Kehrwert $f_s = \frac{1}{T}$ wird als Abtastrate bezeichnet. Die umgekehrte Zuordnung ergibt sich mit s = σ + j·Ω zu:

$z = \frac{1 + Ts/2}{1 - Ts/2} = \frac{1 + \sigma T/2 + j\Omega T/2}{1 - \sigma T/2 - j\Omega T/2}$

Wird der Realteil von s gleich 0 gesetzt (s = j·Ω) ergibt sich:

$z = \frac{1 + j\Omega T/2}{1 - j\Omega T/2}$

Der Betrag von z ist dann für alle Werte von Ω gleich 1 (|z| = 1), was der Abbildung der imaginären Achse der s-Ebene auf den Einheitskreis in der z-Ebene entspricht.

Frequenzverzerrung

Zusammenhang der kontinuierlichen Frequenzachse Ω auf den Einheitskreis in der z-Ebene mit Winkel ω.

Durch den Umstand, dass der kontinuierliche Frequenzbereich -∞ ≤ Ω ≤ ∞ der s-Ebene auf den Winkel -π ≤ ω ≤ π am Einheitskreis der z-Ebene abgebildet wird, muss die Transformation von der zeitkontiuierlichen zur zeitdiskreten Frequenzvariablen nichtlinear sein. Um daraus die abgebildete Beziehung zwischen der kontinuierlichen Frequenzachse Ω auf den Einheitskreis in der z-Ebene mit Winkel ω abzuleiten, wird z mit e^jω substituiert

$z = e^{j\omega} = \frac{1 + j\Omega T/2}{1 - j\Omega T/2}$.

Daraus lässt sich dann mit Hilfe der bilinearen Transformation s bestimmen zu:

$s = \frac{2}{T}\frac{e^{j\omega}-1}{e^{j\omega}+1} = \sigma + j \Omega = \frac{1}{T} \left[ \frac{2 \cdot e^{-j \frac{\omega}{2}} \cdot j \mathrm{sin}(\frac{\omega}{2})}{2 \cdot e^{-j \frac{\omega}{2}} \cdot \mathrm{cos} (\frac{\omega}{2})} \right] = \frac{2j}{T} \mathrm{tan} \left( \frac{\omega}{2} \right)$.

Mit σ = 0 führt dies zu der Beziehung:

$\Omega = \frac{2}{T} \mathrm{tan} \left( \frac{\omega}{2} \right)$

beziehungsweise auf den links in der Abbildung dargestellten Verlauf ω(Ω):

$\omega = 2 \mathrm{arctan} \left( \frac{\Omega T}{2} \right)$.

Die bilineare Transformation vermeidet Alias-Effekte durch „Kompression“ der gesamten imaginären Achse Ω auf den Einheitskreis in der z-Ebene. Die resultierende nichtlineare Kompression der Frequenzachse stellt eine Frequenzverzerrung dar und muss beispielsweise im Rahmen des Filterentwurfes beachtet werden, wenn analoge (zeitkontinuierliche) Filter wie elliptische Filter als zeitdiskrete, digitale IIR-Filter realisiert werden sollen. In diesen Fällen ist eine Vorverzerrung der kontinuierlichen Übertragungsfunktion G(s) des Filters notwendig, neben Beachtung der Nyquistbandbreite, um nach der bilinearen Transformation die passende zeitdiskrete Übertragungsfunktion H[z] zu erhalten.

Literatur

• Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. Oldenbourg, München 1999, ISBN 3-486-24145-1.