Dedekindsche Zeta-Funktion

Die Dedekindsche Zeta-Funktion eines Zahlkörpers K ist definiert als

$\zeta_K(s):=\sum_\mathfrak{a}{\mathfrak{N}(\mathfrak{a})}^{-s}$

wobei $\mathfrak{a}$ die ganzen Ideale des Zahlkörpers K durchläuft und $\mathfrak{N}(\mathfrak{a})$ deren Absolutnorm ist. Die Reihe ζ_K(s) ist absolut und gleichmäßig konvergent im Bereich $\Re (s)\geq 1+\delta$ für alle δ > 0 und es gilt

$\zeta_K (s)=\prod_\mathfrak{p}\frac{1}{1-{\mathfrak{N}(\mathfrak{p})}^{-s}}$

wobei $\mathfrak{p}$ die Primideale von K durchläuft. Die Zeta-Funktion besitzt eine analytische Fortsetzung auf $\mathbb{C}\setminus\{1\}$.

Die Dedekindsche Zeta-Funktion stellt somit eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion dar, die mit dem Körper der rationalen Zahlen korrespondiert.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, ISBN 2-540-54273-5
• Wolfgang Schwarz: Aus der Geschichte der Zahlentheorie, Ergänzte Ausarbeitung einer einstündigen Vorlesung im Winter-Semester 2000/2001, Frankfurt am Main
• Stavros Garoufalidis, James E. Pommersheim: Values of zeta functions at negative integers, Dedekind sums and toric geometry, Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA, USA.