Zugeordnete Legendre-Polynome
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Bei zugeordnete Legendrepolynome bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen.
Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendre-Gleichung: ![(1-x^2) \, \frac{\mathrm{d}^2\,y}{\mathrm{d}x^2} - 2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right) \, y = 0](/pictures/dewiki/57/9e52c5cb26f76298b6d304b0b6d73bcd.png)
Diese gewöhnliche Differenzialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall [-1, 1] nur dann, wenn
und
ganzzahlig sind mit
.
Man begegnet der allgemeinen Legendre-Gleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential. Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendre-Gleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms.
Definition
Die zugeordneten Legendrepolynome werden als
bezeichnet. Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewöhnlichen Legendrepolynomen definieren:

wobei
das
-te Legendrepolynom ist
.
Daraus ergibt sich

Zusammenhang mit Legendre-Polynomen
Die verallgemeinerte Legendre-Gleichung geht für m = 0 in die Legendre-Gleichung über, sodass
gilt.
Orthogonalität
Für die zugeordneten Legendre-Polynome gelten im Intervall I = [-1,1] zwei Orthogonalitätsrelationen:


Oft wird
betrachtet, für diese gilt die Normierung auf der Einheitskugel

Die zugeordnete Legendre-Gleichung lautet dann
![\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} \vartheta^2} + \frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta} \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} \vartheta} + \left[ \ell\,(\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2 \vartheta} \right] y = 0.](/pictures/dewiki/55/7f4d2d2f28ff7dc7f226acaafee274b2.png)
Über
werden die sog. Kugelflächenfunktionen definiert als

welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden.
Die ersten zugeordneten Legendre-Polynome
Für die zugeordneten Legendre gilt folgende Rekursionsformel

Die ersten Legendre-Polynomen bestimmen sich damit zu






Und mit
als Argument






Zugeordnete Legendre Funktionen 2. Art
Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome
nur eine Gruppe von Lösungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar. Die zugeordneten Legendre-Funktionen 2. Art
stellen ebenso Lösungen dar. Auch für sie gilt
mit den Legendre-Funktionen 2. Art
.
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