Zwölferregel

Simulierte Normalverteilung der Zwölferregel, verglichen mit berechneter Normalverteilung (Mittelwert 6, Streuung 1).

Die Zwölferregel beschreibt eine Methode, um näherungsweise normalverteilte (Pseudo-)Zufallszahlen zu erzeugen. Sie besagt, dass die Zufallsvariable $s = \sum_{i=1}^{12} X_i$ näherungsweise normalverteilt ist, wenn sie mit zwölf voneinander unabhängigen, über dem Intervall [0,1] gleichverteilten Zufallszahlen X_i erzeugt wird. s hat den Erwartungswert 6 und die Standardabweichung 1.

Grundlage für diese Aussage ist der zentrale Grenzwertsatz.

Um Normalverteilungen mit anderen Parametern zu erhalten, subtrahiert man von den erhaltenen Werten s den Mittelwert 6, multipliziert mit der neuen Standardabweichung σ und addiert den neuen Mittelwert μ:

$\quad s \mapsto (s-6)\cdot \sigma + \mu$.

Die Bedeutung der Zwölferregel liegt darin, dass mit geringem Programmieraufwand und überschaubarem Rechenaufwand passable Ergebnisse erzielt werden können. Sie benötigt keine komplexen mathematischen Funktionen wie etwa den Logarithmus. Heute sind jedoch bessere Methoden bekannt, z. B. die Polar-Methode. Diese liefert wesentlich besser normalverteilte Ergebnisse, und das mit deutlich geringerem Rechenaufwand. Das liegt nicht zuletzt daran, dass die heutigen Prozessoren eine Gleitpunkt-ALU integriert haben, mit der Logarithmus und Wurzel viel schneller berechnet werden können im Vergleich zu der Emulation mit einer Ganzzahl-ALU.

Wichtig ist bei der Anwendung der Zwölferregel die Unabhängigkeit der X_i, die von vielen Pseudozufallszahlengeneratoren gerade nicht garantiert wird. In Standardbibliotheken werden häufig Lineare Kongruenzgeneratoren eingesetzt. Der Spektraltest, der berechnet, wie viele hintereinander generierte Zufallszahlen als unabhängig betrachtet werden können, garantiert für diese meist nur die Unabhängigkeit von maximal vier bis sieben der X_i. Für numerische Simulationen ist es daher sehr bedenklich, die Zwölferregel mit einem nicht näher bekannten Zufallsgenerator aus der Standardbibliothek anzuwenden. Auch aus diesem Grund sind andere Verfahren wie die Polar-Methode vorzuziehen. Es gibt allerdings auch Zufallsgeneratoren, die eine sehr gute Unabhängigkeit von 12 aufeinanderfolgenden Zahlen garantieren, z. B. den Mersenne-Twister.

Wenn die Einzelvariablen X_i unabhängig sind und ihre Verteilung einen Erwartungswert m und eine Standardabweichung S hat, dann ist nach dem zentralen Grenzwertsatz $s_n= \sum_{i=1}^{n} X_i$ normalverteilt mit Erwartungswert $n \cdot m$ und Standardabweichung $s = \sqrt{n} \cdot S$.

Da im Intervall [0, 1] gleichverteilte unabhängige Zufallsvariable X_i den Erwartungswert $m = \frac{1}{2}$ und die Standardabweichung $S = \frac{1}{2\sqrt{3}}$ haben, hat s_n den Erwartungswert $nm=\frac{n}{2}$ und die Standardabweichung $\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{3}}$.

Für n = 12 ergibt sich also der Erwartungswert 6 und die Standardabweichung 1 und somit auch eine Varianz von 1 (Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung). Die 12 wird deshalb benachbarten Zahlen vorgezogen, da die Varianz so bereits normiert ist. s₁₂ − 6 ist daher also standardnormalverteilt.

Beispiel von 8 Simulationen (die Abbildung basiert auf 6000): 
1     2     3     4     5     6     7     8     9     10    11    12   Sum1-12     Std1-12
0,82  0,46  0,58  0,48  0,44  0,84  0,51  0,24  0,19  0,38  0,83  0,67  6,43       0,21
0,19  0,1   0,76  0,67  0,59  0,43  0,03  0,58  0,24  0,71  0,36  0,43  5,08       0,24
0,01  0,93  0,53  0,29  0,91  0,97  0,56  0,44  0,62  0,69  0,77  0,74  7,46       0,27
0,61  0,13  0,27  0,83  0,53  0,95  0,65  0,62  0,02  0,67  0,44  0,69  6,41       0,26
0,55  0,79  0,01  0,97  0,54  0,06  0,62  0,44  0,24  0,35  0,23  0,24  5,06       0,27
0,8   0,22  0,67  0,76  0,9   0,55  1     0,19  0,3   0,58   0,5  0,22  6,68       0,27
0,84  0,45  0,14  0,19  0,17  0,78  0,03  0,48  0,7   0,27  0,64  0,35  5,03       0,26
0,09  0,97  0,27  0,16  0,87  0,05  0,72  0,1   0,28  0,8   0,43  0,29  5,01       0,32
                                                        Mittelwert:     5,9
                                                        Standardabw:    0,96
Die Simulationswerte liegen in der Nähe der berechneten Parameter: 
Standardabweichung von Xi: 0,24 (berechnet: 1/sqrt(12)= 0,29) 
Mittelwert von Xi: 0,49 (berechnet: 0,5) 
Mittelwert der Verteilung von sn: 5,9 (berechnet: 6)  
Standardabweichung von sn: 0,96 (berechnet: 1)