Zylinderkondensator

Ein idealer Zylinderkondensator ist ein Kondensator, der aus zwei elektrisch leitenden Zylindermänteln besteht, zwischen welchen sich ein Dielektrikum (Isolator) befindet. Die Zylindermäntel sind koaxial, gleich hoch, und die Grundflächen der zugehörigen Zylinder liegen in derselben Ebene.

Im Folgenden bedeuten E elektrische Feldstärke im Kondensator, U zwischen den Zylindermänteln anliegende elektrische Spannung, Q im Kondensator gespeicherte elektrische Ladung, R₁ Radius des inneren Zylindermantels, R₂ Radius des äußeren Zylindermantels, l Höhe der Zylindermäntel, $\varepsilon_0$ elektrische Feldkonstante und $\varepsilon_r$ relative Permittivität des Dielektrikums.

Ein realer Zylinderkondensator kann aus zwei Rohren bestehen (deren Wände im Gegensatz zum Zylindermantel nicht unendlich dünn sind), wobei dann R₁ Außenradius des inneren Rohrs und R₂ Innenradius des äußeren Rohres sind. Die folgenden Formeln gelten im Idealfall. Praktische Anwendungen des Zylinderkondensators sind die Leidener Flasche und das Koaxialkabel.

Kapazität des Zylinderkondensators

Schematische Darstellung eines Zylinderkondensators

$C = 2\pi \varepsilon_0\varepsilon_r \frac{l}{\ln{\frac{R_2}{R_1}}}$

Die Kapazität kann aus dem Elektrischen Feld wie folgt hergeleitet werden:

$C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{\int \vec{E}(\vec{r})d\vec{r}} = \frac{Q}{\int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{2\pi l\varepsilon_0\varepsilon_r r}dr} = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r l}{\int\limits_{R_1}^{R2} \frac{1}{r}dr} = 2\pi \varepsilon_0\varepsilon_r \frac{l}{\ln{\frac{R_2}{R_1}}}$

Spannung am Zylinderkondensator

zwischen innerem und äußerem Zylindermantel

$U = \frac{Q}{2\pi l \varepsilon_0\varepsilon_r}\ln{\frac{R_2}{R_1}}$

Elektrisches Feld im Zylinderkondensator

Das Feld zwischen den Zylindermänteln ist nicht homogen, sondern nimmt radial ab.

$\vec E(r) = \frac{Q}{2\pi r l \varepsilon_0 \varepsilon_r} \cdot \vec \mathrm e_r = \frac{U}{r \ln{\frac{R_2}{R_1}}} \cdot \vec \mathrm e_r \quad , \quad R_1 < r < R_2$

$\vec \mathrm e_r$ ist der Einheitsvektor in radialer Richtung der Zylinderkoordinaten. Die mittlere elektrische Feldstärke entspricht der eines Plattenkondensators.

$\bar{E} = \frac{1}{R_2-R_1} \int_{R_1}^{R_2} E(r) \,\mathrm{d} r = \frac{U}{R_2-R_1}$

Außerhalb des Kondensators existiert im Idealfall kein von ihm verursachtes elektrisches Feld.