Bildmaß

Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, Eigenschaften, die ein Maß in einem Maßraum Ω hat, auf einen anderen Raum Ω' zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion g die verschiedenen Werte des Maßes auf Ω in den Raum Ω' transportiert. Das so auf Ω' definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable.

Definition

(Ω,Σ,μ) sei ein Maßraum und $g:\Omega\to\Omega'$ eine Σ-Σ'-messbare Funktion in einen Messraum (Ω',Σ'). Dann ist

$\mu \circ g^{-1} \, : \, A \mapsto \mu(g^{-1}(A)) \;\;\;\;\; (A \in \Sigma')$

ein Maß auf (Ω',Σ'), das Bildmaß von μ, g. $g^{-1}(A)\;$ bezeichnet dabei das Urbild von $A\;$.

Anwendungsbeispiel

Für eine messbare Funktion $f : \Omega' \to \overline{\R}$ (wobei $\overline{\R} := \R \cup \{-\infty, +\infty \}$ die erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen $A\subseteq\Omega'\;$:

$\int_{g^{-1}(A)} f \circ g \; d\mu = \int_A f \; d(\mu \circ g^{-1})$,

wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.^[1]

Quellen

1. ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 1.6.12.