Black Jack

Ein Black Jack

Beispiel eines Black-Jack-Spieles

Der Spieltisch (Spielbank Wiesbaden)

Black Jack ist das meistgespielte Karten-Glücksspiel, das in Spielbanken angeboten wird. Black Jack ist ein Abkömmling des französischen Vingt (et) un (dt. Einundzwanzig bzw. Siebzehn und vier, siehe dort).

Das Spiel

Die Regeln des Black Jack sind international nahezu einheitlich, die nachstehende Beschreibung folgt dem Reglement der Casinos Austria, dieses gilt auch in den meisten deutschen Casinos sowie in der Spielbank von Monte Carlo.

Die Regeln

Allgemeines

Black Jack wird an einem etwa halbkreisförmigen Tisch gespielt. An der geraden Seite des Tisches sitzt der Croupier (Dealer, Bankhalter), ihm gegenüber befinden sich die Plätze für bis zu sieben Spieler (Pointeure).

Es wird mit sechs Paketen französischer Spielkarten zu 52 Blatt, also 312 Karten gespielt – die Black Jack-Karte hat Bridge-Format und trägt extra große Indexzeichen (Large Index) mit den englischen Bezeichnungen K, Q und J für die Bilder.

Ziel des Spiels ist es, mit zwei oder mehr Karten näher an 21 Punkte heranzukommen als der Croupier, ohne dabei den Wert von 21 Punkten zu überschreiten.

Die Werte der einzelnen Karten

• Asse zählen nach Belieben ein oder elf Punkte. (Der Wert des Asses wird erst dann festgelegt, wenn der Spieler keine weitere Karte mehr kauft – dann zählt der Croupier das Ass so, wie es für den Spieler am günstigsten ist.)
• Zweier bis Zehner zählen entsprechend ihren Augen.
• Bildkarten (Buben, Damen, Könige) zählen zehn Punkte.

Spielablauf

Vor Beginn eines Spieles platzieren die Spieler ihre Einsätze auf den bezeichneten Feldern (Boxes) entsprechend den vom Casino festgesetzten Limits.

In einer Box dürfen neben dem Boxeninhaber auch andere Spieler mitsetzen; mitsetzende Spieler haben aber kein Mitspracherecht und müssen die Entscheidungen des Boxeninhabers akzeptieren. Der Einsatz der mitsetzenden Spieler darf nur so hoch sein, dass das vom Casino festgelegte Limit pro Box nicht überschritten wird. Hat der Boxinhaber bereits den maximal möglichen Einsatz getätigt, darf somit kein Mitspieler mehr auf diese Box mitsetzen.

Sind die Einsätze getätigt, beginnt der Croupier die Karten auszuteilen. Jeder Spieler und der Croupier erhalten zuerst eine offene Karte, danach erhält jeder Spieler − nicht aber der Croupier − eine zweite offene Karte (vgl. Regel-Varianten).

Beginnend mit dem Spieler zur Linken des Croupiers kann nun jeder Teilnehmer solange weitere Karten verlangen („hit“, „Karte“ oder „carte“), bis er glaubt, nahe genug an 21 Punkte herangekommen zu sein und keine weitere Karte mehr wünscht („stay“, „Keine Karte“ oder „reste“). Wer jedoch mit seinen Karten den Wert 21 überschreitet (bust), hat sich überkauft und verliert sofort; die Karten und der Einsatz werden vom Croupier eingezogen.

Sind alle Spieler bedient, so zieht der Croupier seine zweite Karte. Hat er 17 oder mehr Punkte, so muss er stehen bleiben, hat er 16 oder weniger Punkte, so muss er eine weitere Karte ziehen (“Dealer must stand on 17 and must draw to 16“).

Dabei gilt folgende Regel: Der Croupier muss ein Ass stets mit elf Punkten zählen, es sei denn, er würde auf diese Weise den Wert 21 überschreiten; nur dann zählt er das Ass mit einem Punkt. Hat der Croupier z. B. ein Ass und eine Sechs, so muss er das Ass mit elf und die Hand mit siebzehn Punkten bewerten und darf keine weitere Karte ziehen (“Dealer stands on soft 17“).

Wenn der Croupier 21 Punkte überschreitet, so haben alle noch im Spiel verbleibenden Teilnehmer automatisch gewonnen. Sonst gewinnen nur jene Spieler, deren Kartenwert näher an 21 Punkte heranreicht als der des Croupiers.

Hat ein Spieler gleich viele Punkte wie der Croupier, so ist das Spiel unentschieden (stand off, push, tie, égalité, en cartes), der Spieler verliert nichts, er gewinnt aber auch nichts.

Gewinnt ein Spieler, so erhält er einen Gewinn in der Höhe seines Einsatzes (1 : 1, even money); in den beiden folgenden Fällen werden jedoch erhöhte Gewinne ausgeschüttet.

Siebener-Drilling

Hat ein Spieler 21 Punkte bestehend aus drei Siebenern (Triple seven), so gewinnt er sofort im Verhältnis 3 : 2, unabhängig von der Karte des Croupiers. Das Spiel ist für die betreffende Box nach der Gewinnauszahlung beendet. (Diese Regel ist außerhalb Österreichs unüblich; allerdings hat es sich auch in Deutschland und der Schweiz etabliert, dass der Gast in irgendeiner Form einen Bonus erhält.)

Black Jack

Nach dem Siebener-Drilling ist Black Jack, eine Kombination von 21 Punkten bestehend aus den ersten beiden Karten, also Ass und Zehn, bzw. Ass und Bild, das beste Resultat.

Hat ein Spieler einen Black Jack, nicht aber der Croupier, so erhält der Spieler einen 3 : 2 Gewinn ausbezahlt („Black Jack pays 3 to 2“). Hat der Croupier jedoch auch einen Black Jack, so ist das Spiel unentschieden.

Hat der Croupier einen Black Jack, so verlieren alle noch im Spiel befindlichen Teilnehmer, ausgenommen diejenigen, welche ebenfalls einen Black Jack besitzen; insbesondere auch all diejenigen Spieler, welche 21 Punkte in der Hand halten. (Hat ein Spieler einen Siebener-Drilling, so hat er bereits seinen Gewinn erhalten und ist bereits aus dem Spiel.)

Insurance (Versicherung gegen Black Jack)

Hat der Croupier als erste Karte ein Ass, so können sich die Spieler gegen einen Black Jack des Croupiers versichern, indem sie einen entsprechenden Einsatz auf die Insurance line setzen. Zieht der Croupier als zweite Karte eine Zehn oder eine Bildkarte, so hat er einen Black Jack und die Versicherung wird im Verhältnis 2 : 1 ausbezahlt („Insurance pays 2 to 1“). Hat der Croupier jedoch keinen Black Jack, so wird die Versicherungsprämie eingezogen.

Hat ein Spieler einen Black Jack und der Croupier als erste Karte ein Ass, so kann sich der Spieler einen 1 : 1-Gewinn auszahlen lassen und das Spiel beenden. Dies entspricht gerade dem Abschluss einer Versicherung, wobei der Spieler die Hälfte seines ursprünglichen Einsatzes auf die Insurance line platziert.

Die Versicherung gegen einen Black Jack des Croupiers ist im Grunde eine Nebenwette, der Bankvorteil beträgt bei der Insurance ca. 1/13 = 7,692 %.

Split (Teilen)

Ein Spieler kann seine Hand teilen (split), wenn die ersten beiden Karten gleichwertig sind (z. B. zwei Sechser oder Bube und Dame); er spielt dann mit „geteilter Hand“ mit zwei getrennten Einsätzen weiter, wobei mehrfaches Teilen (resplit) möglich ist (in deutschen Spielbanken ist das mehrfache Teilen i. d. R. nicht zulässig). Für jede geteilte Hand ist ein weiterer Einsatz in der Höhe des ursprünglichen Einsatzes zu leisten. Der Spieler erhält nun in jeder geteilten Hand beliebig viele Karten.

Ausnahme: Teilt ein Spieler zwei Asse, so erhält er auf jedes Ass nur mehr eine weitere Karte. Ist diese ein weiteres Ass, so ist ein nochmaliges Teilen aber weiterhin möglich.

In einer geteilten Hand gilt die Kombination Ass und Bild bzw. Ass und Zehn jedoch nicht als Black Jack, sondern als 21 Punkte, da die Kartenkombination nicht mit den ersten beiden Karten erzielt wurde.

Double (Verdoppeln)

Ein Spieler kann, nachdem er seine ersten beiden Karten erhalten hat, seinen Einsatz verdoppeln (double). Der Wert der beiden Karten ist dabei unerheblich (Double down on any two). Wenn ein Spieler verdoppelt, so wird ihm danach noch genau eine Karte zugeteilt.

Ein Verdoppeln nach dem Teilen ist möglich (Double down on split pairs) (vgl. Regel-Varianten).

Ein mitsetzender Spieler in einer Box kann nur dann verdoppeln, wenn auch der Boxeninhaber seinen Einsatz verdoppelt.

Bust

In vielen Spielbanken kann ein Spieler vor Beginn der Kartenausgabe darauf wetten, dass sich der Dealer in dieser Runde überkauft (Dealer busts oder kurz Bust).

Sollte der Dealer 22 oder mehr Augen erhalten und sich somit überkaufen, so wird diese Nebenwette im Verhältnis 5 : 2 ausbezahlt, andernfalls wird der Einsatz auf diese Wette eingezogen. Der Bankvorteil bei dieser Wettart beträgt 1,44 %.

Regel-Varianten

Viele Casinos schränken die Wahlmöglichkeiten der Spieler ein. Die am häufigsten anzutreffenden Abweichungen von den obigen Regeln sind:

• Verdoppeln: Das Verdoppeln ist nur dann gestattet, wenn die ersten beiden Karten den Wert 9, 10 oder 11 aufweisen.
• Teilen: Mehrfaches Teilen ist möglich, in einer geteilten Hand darf aber nicht verdoppelt werden.

Die Art der Kartenausgabe ist vielfach unterschiedlich, in den USA erhält der Croupier in der Regel seine zweite Karte unmittelbar nachdem alle Spieler ihre ersten beiden Karten erhalten haben – also nicht erst, nachdem alle Spieler sich erklärt haben und bedient sind. In diesem Fall wird die zweite Karte des Croupiers allerdings verdeckt gegeben und erst dann umgedreht, wenn der letzte Spieler bedient ist. Zeigt die erste Karte des Croupiers ein Ass oder eine Karte mit dem Wert zehn, prüft dieser, ob er einen Black Jack hat – dieses Verfahren hat für den Spieler den Vorteil, dass er bei einem Black Jack des Dealers in jedem Fall nur den einfachen Einsatz verliert und nicht den durch Teilen oder Verdoppeln erhöhten Einsatz. Dieser Unterschied ist jedoch praktisch völlig unerheblich, da man als Spieler ohnedies nur in wenigen Ausnahmefällen verdoppeln bzw. teilen sollte, falls der Dealer als erste Karte ein Ass oder eine Karte vom Wert zehn besitzt.

Weiter gilt in einigen – vor allem amerikanischen – Casinos, die Regel, dass der Dealer mit einer „soft 17“ kauft, diese Regel ist für den Spieler weniger günstig als die verbreitetere Regel „Dealer stands on soft 17“.

Analyse

Betrachtet man die Regeln des Black Jack, so fällt auf den ersten Blick eine Reihe von Asymmetrien auf, die den Spieler bevorzugen.

Die Vorteile des Spielers

• Gewinnt ein Spieler mit Black Jack, so gewinnt er im Verhältnis 3 : 2; gewinnt jedoch der Croupier mit Black Jack, so gewinnt er nur im Verhältnis 1 : 1.
• Der Spieler ist frei in den Entscheidungen, ob er eine Karte verlangen soll oder nicht, bzw. wie er ein Ass bewerten soll – und er kann diese Entscheidungen abhängig vom Wert der ersten Karte des Croupiers treffen. Der Croupier aber ist in seiner Spielweise an eine starre Regel gebunden.
• Der Spieler kann mit einem aussichtsreichen Blatt den Einsatz vor einem Kauf verdoppeln und damit den Croupier zwingen, das Spiel zum doppelten Betrag fortzusetzen.
• Der Spieler kann zwei gleichwertige Karten teilen und so möglicherweise mit zwei Händen gegen den Croupier gewinnen.

Der Vorteil der Spielbank

Diesen Vorteilen steht natürlich ein – versteckter – Vorteil der Spielbank gegenüber. Wenn ein Spieler 21 Punkte überschreitet, so verliert er seinen Einsatz sofort. Wenn nun in demselben Spiel der Croupier ebenfalls die 21 Punkte überschreitet, so bleibt das Spiel für den Spieler verloren und gilt nicht als unentschieden, er erhält ja seinen Einsatz nicht mehr zurück.

Aus dieser Ungleichheit resultiert der Bankvorteil, der mathematisch dem Erwartungswert für die Einnahme der Spielbank pro gesetztem Euro entspricht. Beim Black Jack hängt dieser Wert natürlich von der gewählten Spielstrategie ab.

Mathematische Analyse

Die erste mathematische Analyse des Black Jack wurde 1956 veröffentlicht.^[1] Dabei wurde eine optimale Strategie für den Spieler unter der Annahme berechnet, dass mit unendlich vielen Paketen gespielt wird, d. h. dass etwa die Wahrscheinlichkeit, als nächste Karte z. B. ein Ass zu ziehen, stets 1/13 beträgt – unabhängig davon, wie viele Asse und wie viele Karten bereits aus dem Schlitten gezogen worden sind. Die so erzielten Ergebnisse stellen eine gute Näherung dar für das reale Spiel mit beispielsweise 312 Karten.

Wenn ein Spieler eine Runde mit einem Einsatz von 100 € beginnt und er sich in jeder Situation im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung optimal entscheidet, so steigert er – infolge der Möglichkeiten zu teilen bzw. zu verdoppeln – seinen Einsatz im Mittel auf 111,67 € und verliert im Mittel 0,53 € je Spiel. Der Bankvorteil beträgt dann gerade 0,475 %, was verglichen mit anderen Spielen, die in Spielbanken zu finden sind, sehr niedrig ist.

Zum Vergleich: Der Bankvorteil bei den einfachen Chancen des Roulette beträgt 1,35 %, bei den mehrfachen Chancen 2,70 %.

Ablauf der mathematischen Analyse

Die mathematische Analyse^[2] erfolgt bedingt zur offenen Karte der Bank: Zunächst wird für jede offene Karte der Bank die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung der Bankresultate berechnet. Darauf aufbauend wird, wieder bedingt zur offenen Bankkarte, umgekehrt zur Chronologie des Spielverlaufs jede Entscheidungssituation des Spielers untersucht. Konkret wird für jede Entscheidungssituation diejenige Entscheidung bestimmt, die für den Spieler am günstigsten ist, das heißt für welche der Erwartungswert des Saldos Gewinn minus Einsatz maximal ist. Die dafür notwendigen Berechnungen sind rekursiv, da sie jeweils auf den Erwartungswerten basieren, die bereits zuvor zu chronologisch späteren Spielsituationen berechnet wurden.

Schließlich wird aus den zu den offenen Bankkarten bedingten Erwartungswerten ein absoluter Erwartungswert berechnet.

Strategie

Basic strategy

Hält sich der Spieler an die folgenden − als Basic strategy bekannten – Regeln, so minimiert er den Bankvorteil.

Die hier angegebene Strategie ist optimal bezüglich des obigen Reglements. Regel-Abweichungen bedingen auch Änderungen der optimalen Strategie.

Draw or stand

Hard hands

Als Hard hand bezeichnet man alle Kombinationen ohne Ass sowie eine Hand mit einem Ass, wenn dieses mit einem Punkt gezählt wird, so ist z. B. die Kombination A-5-7 eine Hard 13.

• Hält der Dealer ein Ass, 10, 9, 8 oder 7, so soll man bei einer Hard 16 kaufen und bei einer Hard 17 stehenbleiben.
• Hält der Dealer eine 6, 5 oder 4, so soll man bei einer Hard 11 kaufen aber bei einer Hard 12 oder höher stehenbleiben.
• Hält der Dealer eine 3 oder 2, so soll man bei einer Hard 12 kaufen aber bei einer Hard 13 oder höher stehenbleiben.

Soft hands

Eine Soft hand ist eine Hand mit einem Ass, das mit elf Punkten bewertet wird, so kann z. B. eine Hand aus Ass und Sechs als 17 Punkte gezählt werden.

• Bei einer Soft hand mit 19 oder mehr Punkten soll man niemals kaufen.
• Mit einer Soft 18 bestehend aus drei oder mehr Karten soll man nur dann kaufen, wenn der Dealer eine 9, 10 oder Ass hält.
• Mit einer Soft 17 bestehend aus drei oder mehr Karten soll man immer kaufen.

Doubles

Soft hand doubles

• Eine Hand von A-2 (soft 13) soll nur gegen eine 6 verdoppelt werden, in allen anderen Fällen soll der Spieler kaufen.
• Eine Hand von A-3 (soft 14) oder A-4 (soft 15) soll gegen eine 6 oder 5 verdoppelt werden, in allen anderen Fällen soll der Spieler kaufen.
• Eine Hand von A-5 (soft 16) soll gegen eine 6, 5 oder 4 verdoppelt werden, in allen anderen Fällen soll der Spieler kaufen.
• Eine Hand von A-6 (soft 17) soll gegen eine 6, 5, 4 oder 3 verdoppelt werden, in allen anderen Fällen soll der Spieler kaufen.
• Eine Hand von A-7 (soft 18) soll gegen eine 6, 5, 4 oder 3 verdoppelt werden; der Spieler soll gegen eine 2, 7 oder 8 stehenbleiben und gegen eine 9, 10 oder Ass kaufen.
• Mit einer Hand von A-8, A-9 oder A-10 (Black Jack) soll man niemals verdoppeln, sondern stets stehenbleiben (siehe oben).

Für eine Hand mit zwei Assen (soft 12) siehe Splits.

Hard hand doubles

• Eine Hard hand von 8 oder weniger Punkten soll man niemals verdoppeln.
• Eine Hand von 9 Punkten (ohne Ass) bestehend aus zwei Karten soll man nur dann verdoppeln, wenn der Dealer eine 6, 5, 4 oder 3 hält.
• Eine Hand von 10 oder 11 Punkten (ohne Ass) bestehend aus zwei Karten soll man stets verdoppeln, ausgenommen der Dealer hält 10 oder A.
• Eine Hard hand mit 12 oder mehr Punkten soll man niemals verdoppeln.

Splits

• Zwei Asse soll man immer teilen, ausgenommen der Dealer hat ein Ass.
• Zweier, Dreier und Siebener soll man nur dann teilen, wenn der Dealer eine 2, 3, 4, 5, 6 oder 7 hält.
• Zwei Vierer soll man nur dann teilen, wenn der Dealer eine 5 oder 6 hält.
• Fünfer und Zehner soll man niemals teilen.
• Zwei Sechser soll man nur dann teilen, wenn der Dealer eine 2, 3, 4, 5 oder 6 hält.
• Zwei Achter soll man immer teilen, ausgenommen der Dealer hat 10 oder Ass.
• Zwei Neuner soll man immer teilen, ausgenommen der Dealer hat eine 7, 10 oder Ass.

Insurance (Versicherung)

Es ist nicht sinnvoll, sich gegen einen Black Jack des Croupiers zu versichern bzw., falls der Croupier als erste Karte ein Ass hält, sich einen Black Jack zum Verhältnis 1 : 1 auszahlen zu lassen.

Bust

Die Nebenwette Bust, dass der Croupier sich verkauft, ist bei weitem nachteiliger als das eigentliche Spiel; es ist daher nicht sinnvoll, diese Wette abzuschließen.

Kartenzählen

Kartenschlitten

Früher war es üblich, dass die in einem Spiel benutzten Karten beiseite gelegt wurden und im nächsten Spiel die Karten vom Reststapel aus dem Kartenschlitten gezogen wurden. War der Stapel zu ungefähr drei Viertel abgespielt, wurden die abgelegten Karten mit dem restlichen Talon neu gemischt, und eine neue Taille begann.

Auf diese Weise war die Zusammensetzung des Kartenstapels in den einzelnen Spielen sehr unterschiedlich. Kamen z. B. im ersten Coup nach dem Mischen nur wenige hohe Karten, so wurde die Wahrscheinlichkeit für das Fallen hoher Karten im nächsten Coup natürlich größer.

Der amerikanische Mathematiker Edward O. Thorp entwickelte 1961 ein Spielsystem^[3][4], mit dessen Hilfe man als Spieler einen Vorteil gegenüber der Spielbank erlangte. 1962 veröffentlichte Thorp eine ausführlichere Version als Buch Beat the Dealer^[5]. Als Spieler konnte man durch Mitzählen der hohen Karten (Card counting) vorteilhafte Zusammensetzungen des Kartenstapels erkennen und in diesen Fällen einen höheren Einsatz riskieren.

Selbstverständlich setzten die Spielbanken daraufhin Gegenmaßnahmen ein:

• Die Anzahl der verwendeten Kartenpakete wurde erhöht, ursprünglich wurde mit nur einem Paket gespielt, später mit vier und heute zumeist mit sechs Paketen.
• Der Kartenstapel wird nicht mehr bis zum Ende gespielt, sondern es wird ein Viertel bis ein Drittel des Stoßes „abgeschnitten“.
• Die Wahlmöglichkeiten des Spielers wurden z. T. eingeschränkt (siehe Regel-Varianten).

Trotz dieser Gegenmaßnahmen bot das Kartenzählen dem Spieler weiterhin die Möglichkeit, seine Chancen zu verbessern.

Viele europäische Casinos verwenden nunmehr so genannte Shuffle stars, spezielle Kartenschlitten mit eingebauter Kartenmischmaschine, dadurch ist das Kartenzählen grundsätzlich obsolet. Die in einem einzelnen Spiel benutzten Karten werden nach dem Coup gleich in den Schlitten zurückgelegt und dort sofort wieder mit den übrigen Karten vermischt – auf diese Weise sind die einzelnen Coups beim Black Jack voneinander unabhängig, so wie die einzelnen Coups beim Roulette.

Entgegen einer gelegentlich kolportierten Behauptung, ist Kartenzählen in Casinos nach deutschem Recht (ebenso in den USA) nicht strafbar und auch nicht ordnungswidrig; dies schließt aber nicht zwangsläufig aus, dass Casinos Hausverbot gegen identifizierte Kartenzähler verhängen.

Third base

Ein sehr weit verbreiteter Irrglaube beim Black Jack ist die Meinung, dass der Spieler, der unmittelbar zur Rechten des Croupiers sitzt − diese Position am Spieltisch wird Third base genannt − mit seiner Spielweise das Resultat des Croupiers beeinflussen kann, schließlich würde ja eine von ihm verlangte Karte andernfalls der Croupier erhalten bzw. erhält der Croupier die eine Karte, die er nicht mehr kauft.

Da aber die nächste Karte nicht bekannt ist, lässt sich für den Spieler aus dieser Position am Spieltisch kein Vorteil ziehen.

Als Spieler wird man an diesem Platz aber häufig von den übrigen Teilnehmern bezüglich der Spielweise kritisiert, deshalb sollte man diesen Platz eher meiden.

Fünfkartentrick

Der sogenannte Fünfkartentrick (Five Card Trick oder Five Card Charly) wurde schon früher gestrichen: Ein Spieler, der fünf Karten auf der Hand hielt und dabei die 21 Punkte nicht überschritten hatte, gewann sofort im Verhältnis 1 : 1, es sei denn, der Croupier hatte ein Black Jack, in diesem Fall gewann die Bank – hierbei gab es allerdings auch abweichende Regeln. Mit dieser zusätzlichen Gewinnmöglichkeit lässt sich sogar eine Gewinnstrategie finden, die ohne Kartenzählen auskommt.

Der Fünfkartentrick ist heute nur noch selten vorzufinden, wenn, dann gelten jedoch stets andere Einschränkungen der Wahlmöglichkeiten des Spielers, sodass insgesamt eine für den Spieler weniger aussichtsreiche Variante entsteht.

Einzelnachweise

1. ↑ Roger R. Baldwin, Wilbert E. Cantey, Herbert Maisel, James P. McDermott: The Optimum Strategy In Blackjack, Journal of the American Statistical Association, Band 51, Heft 275, 1956, S. 429−439, JSTOR, bjmath.com).
2. ↑ Jörg Bewersdorff: Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel − Methoden, Ergebnisse und Grenzen, Vieweg+Teubner Verlag, 5. Auflage 2010, ISBN 3834807753, doi:10.1007/978-3-8348-9696-4, S. 81–93.
3. ↑ Edward Thorp: A Favorable Strategy for Twenty-One, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Band 47, Heft 1, 1961, S. 110–112 (JSTOR), (PNAS-Archiv).
4. ↑ 17 und 4: Formel des Glücks, Der Spiegel, 1964, Heft 18, 29. April 1964, S. 127–131 (online).
5. ↑ Edward Thorp: Beat the Dealer: A Winning Strategy for the Game of Twenty-One, New York 1962, ISBN 0-394-70310-3

Literatur

• Regelbuch der Casinos Austria
• Charles Cordonnier: Black Jack – Spiel und Strategie, printul Verlag, München 1985
• Charles Cordonnier: Black Jack für Anfänger – 60 Strategiebeispiele in Wort und Bild, printul Verlag, München 1988
• Claus Grupp: Glücksspiele mit Kugel, Würfel und Karten, Falken Verlag, Wiesbaden, 1976
• Konrad Kelbratowski: Black Jack. Regeln und Strategien des Kasinospiels. Falken Verlag, Niedernhausen, Ts, 1984
• Albert H. Morehead, Richard L. Frey, Geoffrey Mott-Smith: The New Complete Hoyle Revised, New York 1991
• Albert H. Morehead, Geoffrey Mott-Smith: Hoyle’s Rules of Games 2nd revised edition. A Signet Book, 1983
• David Parlett: The Oxford Dictionary of Card Games, Oxford 1992
• David Parlett: The Oxford Guide to Card Games, Oxford 1990
• Michael Rüsenberg: Black Jack – Handbuch für Strategen, Printul Verlag, Geretsried, 2003
• Michael Rüsenberg: Black Jack für Einsteiger, Printul Verlag, Geretsried, 2006
• Alexander B. Szanto: Roulette, Trente-et-Quarante, Baccara, Black Jack, Perlen Reihe, Band 645, Wien, 1977
• Edward Thorp: Beat the Dealer: A Winning Strategy for the Game of Twenty-One, New York 1962, ISBN 0-394-70310-3

Weblinks

• Black-Jack-Rechner: Berechnung optimaler Strategien im Browser (mit JavaScript)