Bogenwechsel

Wendepunkt

Ein Wendepunkt $W\left(x_W|f(x_W)\right)$ ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Ein Wendepunkt an der "Wendestelle" x_W liegt vor, wenn die zweite Ableitung der differenzierbaren Funktion f an der Stelle x_W ihr Vorzeichen wechselt. Daraus lassen sich mehrere Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten eines Funktionsgraphen ableiten.

Ein Spezialfall des Wendepunkts ist der Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt).

Die Tangente durch einen Wendepunkt wird Wendetangente genannt (Im Bild rot).

Notwendiges Kriterium zur Bestimmung von Wendepunkten

Aus der Existenz eines Wendepunktes folgt, dass die zweite Ableitung an der Wendestelle gleich null ist:

Hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten

Die zuvor angegebene Bedingung $f\,''(x_W)=0$ ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend für einen Wendepunkt. So ist beispielsweise die zweite Ableitung der Funktion $f:\,x\mapsto x^4$ an der Stelle x = 0 gleich null, obwohl der Graph keinen Wendepunkt besitzt.

Hinreichendes Kriterium ohne Verwendung der dritten Ableitung

Bei Kurvendiskussionen wird in der Regel eine der beiden folgenden hinreichenden Bedingungen verwendet. In der ersten Bedingung kommt nur die zweite Ableitung vor; dafür muss das Vorzeichen von $f\,''(x)$ für x < x_W und für x > x_W untersucht werden.

$\left.\begin{array}{ll}f \text{ ist in einer Umgebung von } x_W \text{ zweimal differenzierbar.}\\f\,''(x) \text{ wechselt an der Stelle } x_W \text{ das Vorzeichen.}\end{array}\right\}\Rightarrow x_W \text{ ist Wendestelle.}$

Wechselt $\,f ''(x_W)$ vom Negativen ins Positive, so ist x_W Rechts-Links-Wendestelle. Wenn $\,f ''(x_W)$ an x_W vom Positiven ins Negative wechselt, so ist x_W eine Links-Rechts-Wendestelle.

Hinreichendes Kriterium unter Verwendung der dritten Ableitung

In der zweiten für einen Wendepunkt hinreichenden Bedingung wird auch die dritte Ableitung benötigt, allerdings nur an der Stelle x_W selbst. Diese Bedingung wird vor allem dann verwendet, wenn die dritte Ableitung leicht zu ermitteln ist. Der Hauptnachteil gegenüber der schon erläuterten Bedingung liegt darin, dass im Falle $f\,'''(x_W)=0$ keine Entscheidung getroffen werden kann.

$\left.\begin{array}{ll}f \text{ ist in einer Umgebung von } x_W \text{ dreimal differenzierbar.}\\f\,''(x_W) = 0\\f\,'''(x_W) \neq 0\end{array}\right\}\Rightarrow x_W \text{ ist Wendestelle.}$

Genauer folgt aus $f\,''(x_W) = 0$ und $f\,'''(x_W) &amp;amp;gt; 0$, dass x_W eine Rechts-Links-Wendestelle ist. Entsprechend ist x_W für $f\,''(x_W) = 0$ und $f\,'''(x_W) &amp;amp;lt; 0$ eine Links-Rechts-Wendestelle.

Hinreichendes Kriterium unter Verwendung weiterer Ableitungen

Ist die Funktion hinreichend oft differenzierbar, kann auch im Falle $f\,'''(x_W)=0$ eine Entscheidung getroffen werden:

$\left.\begin{array}{ll}f \text{ ist in einer Umgebung von } x_W\, n\text{-mal differenzierbar.}\\f\,''(x_W) = 0\\f\,^{(n)}(x_W) \neq 0\; \text{ mit }\,n&amp;amp;gt;2\, \text{und}\, n \, \text{ungerade}\end{array}\right\}\Rightarrow x_W \text{ ist Wendestelle.}$

Diese allgemeinere Formulierung enthält bereits den vorangegangenen Fall. Beginnend mit der dritten Ableitung wird die nächste Ableitung gesucht, die nicht Null wird. Ist dies eine ungerade Ableitung (bezogen auf den Grad der Ableitung), handelt es sich um eine Wendestelle.

Beispiel

${ f(x) } = { 1 \over 3 } \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x$

Dann ist die zweite Ableitung der Funktion gegeben durch:

${f''(x)} = {2 \cdot x - 4}$

Eine Wendestelle x_W muss die Bedingung

${f''(x)} = 0 = {2 \cdot x - 4}$

erfüllen. Es kommt also nur x_W = 2 in Frage. Um zu klären, ob an dieser Stelle tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt, untersucht man nun auch die dritte Ableitung:

${f'''(x)} = 2 \,$

Aus $f\,'''(x_W) = f'''(2) = 2 \neq 0$ ist zu schließen, dass es sich um einen Wendepunkt handelt. Diese Tatsache ist auch ohne Verwendung der dritten Ableitung zu erkennen: Wegen $f\,''(x) = 2 \cdot x - 4 &amp;amp;lt; 0$ für x < 2 und $f\,''(x) = 2 \cdot x - 4 &amp;amp;gt; 0$ für x > 2 ändert sich das Krümmungsverhalten; daher muss ein Wendepunkt vorliegen.

Die y-Koordinate dieses Wendepunkts erhält man durch Einsetzen von x = 2 in die Funktionsgleichung.

$y_W = f(2) = {1 \over 3} \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 = {2 \over 3}$

Die Gleichung der Wendetangente kann herausgefunden werden, indem man den X-Wert des Wendepunktes (2) in die erste Ableitung einfügt. Somit erhält man die Steigung (m). Danach setzt man in die Funktionsbestimmung (y = mx+b) den ermittelten X & Y Wert (Wendepunkt) und den m (Steigungs-) Wert ein. Sie erhalten dann den Schnittpunkt mit der Y-Achse (b) und können somit die komplette Funktion der Wendetangente bestimmen.

$f\,'(x) = x^2 - 4 \cdot x + 3$

$f\,'(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$

Wendetangente: $y = -x + {8 \over 3}$

Besondere Fälle

${ f(x) } = (x-2)\cdot e^{|x|}$

Der Graph dieser Funktion ändert bei x = 0 sein Krümmungsverhalten (Übergang von Rechts- in Linkskrümmung).

Dennoch hat die Funktion bei x = 0 keinen Wendepunkt, da die erste Ableitung an der Stelle x = 0 nicht existiert. Der Graph von $f' \,$ hat daher für x = 0 kein Extremum.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 11. Auflage, S. 293

Weblinks

• "Wendepunkte bestimmen" im Online-Mathematikbuch
• Wendepunkt und Sattelpunkt