Bonferroni-Ungleichung

Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Benennung nach Bonferroni

Die Bonferroni-Ungleichungen werden nicht unbedingt zurecht nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.^[1]

Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.^[2]

Die erste der folgenden Ungleichungen wird häufiger nach George Boole als Boolesche Ungleichung bezeichnet; oft werden die Ungleichungen aber auch ohne Namensbezug genannt.

Erste Ungleichung

Im Folgenden seien E_i beliebige Teilmengen (Ereignisse) in einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω. $\scriptstyle{\Pr(E_i)}$ bezeichne die Wahrscheinlichkeit von Ereignis E_i und $\scriptstyle{\bigcup_{i=1}^nE_i}$ die Vereinigungsmenge der Ereignisse $\scriptstyle{E_1,..,E_n}$. Dann gilt:

$\Pr\left( \bigcup_{i=1}^nE_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \Pr\left(E_i\right)$.

Es gilt auch allgemeiner:

$\Pr\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i \right) \leq \sum_{i=1}^\infty \Pr\left(E_i\right)$

Diese Ungleichungen werden auch Boolesche Ungleichungen genannt.

Beweis

Zum Beweis der ersten Variante genügt eine vollständige Induktion nach n. Der Induktionsanfang ergibt sich unmittelbar aus

$\Pr \left( E_1 \cup E_2 \right) = \frac{|E_1 \cup E_2|}{|\Omega|} = \frac{|E_1| + |E_2| - |E_1 \cap E_2|}{|\Omega|}$

$\leq \frac{|E_1| + |E_2|}{|\Omega|} = \frac{|E_1|}{|\Omega|} + \frac{|E_2|}{|\Omega|} = \Pr \left( E_1 \right) + \Pr \left( E_2 \right)$.

Sei für den Induktionsschritt $\Pr\left( \bigcup_{i=1}^{n-1}E_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n-1} \Pr\left(E_i\right)$ vorausgesetzt. Es folgt dann die Behauptung vermöge:

$\Pr\left( \bigcup_{i=1}^{n}E_i \right) = \Pr\left( E_n \cup \bigcup_{i=1}^{n-1}E_i \right) \leq \Pr\left( E_n \right) + \Pr \left( \bigcup_{i=1}^{n-1}E_i \right)$

$\leq \Pr\left( E_n \right) + \sum_{i=1}^{n-1} \Pr\left(E_i\right) = \sum_{i=1}^{n} \Pr\left(E_i\right)$.

Zweite Ungleichung

Im Folgenden seien wieder E_i beliebige Teilmengen (Ereignisse) in einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω. Ferner bezeichne $\overline{E_i} = \Omega \setminus E_i$ das Komplement von E_i. Dann folgt:

$\Pr\left(\bigcap_{i=1}^nE_i\right) \geq 1-\sum_{i=1}^nPr\left(\overline{E_i}\right)$

Beispiele

• Sei Ω = {1,2,3,4,5,6} die Menge der Ergebnisse eines Würfelwurfs. Bezeichne E₁ = {2,4,6} das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und E₂ = {5,6} das Ereignis, wenigstens eine 5 zu würfeln. Offensichtlich gilt $\Pr(E_1) = \frac{1}{2}$ und $\Pr(E_2) = \frac{1}{3}$. Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln

$\Pr \left( E_1 \cup E_2 \right) \leq \Pr \left( E_1 \right) + \Pr \left( E_2 \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} .$

• Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln

$\Pr \left( E_1 \cap E_2 \right) \geq 1 - \Pr \left( \overline{E_1} \right) - \Pr \left( \overline{E_2} \right) = 1 - (1-\frac{1}{2}) - (1-\frac{1}{3}) = - \frac{1}{6}$

Das Ergebnis liefert also keine brauchbare Aussage, da jede Wahrscheinlichkeit ohnehin größer oder gleich Null ist. Für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln folgt jedoch

$\Pr \left( E_1 \cap \overline{E_2} \right) \geq 1 - \Pr \left( \overline{E_1} \right) - \Pr \left( E_2 \right) = 1 - (1-\frac{1}{2}) - (1-\frac{2}{3}) = \frac{1}{6} .$

Literatur

• Janos Galambos, Italo Simonelli: Bonferroni type inequalities with applications. Springer, New York u.a. 1996, ISBN 0-387-94776-0.
• Klaus Dohmen: Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type. Springer, Berlin u.a. 2003, ISBN 3-540-20025-8.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5.
• J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.

Einzelnachweise

1. ↑ Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage. Springer, 2005, S. 129.
2. ↑ J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.