Bose-Einstein-Statistik

Illustration der Besetzung $\langle n(E)\rangle$ für Bosonen (obere Kurve) bzw. Fermionen (untere Kurve) im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit. Das chemische Potential µ ist im Fermifall positiv, bei T = 0 K entspricht es der Fermienergie; im Bose-Fall ist es dagegen ein negativer Parameter, der in bestimmter Weise von Temperatur und Dichte abhängt und im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden würde.

Die Bose-Einstein-Statistik, benannt nach Satyendranath Bose und Albert Einstein, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik. Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl $\langle n(E) \rangle$ eines Quantenzustands der Energie E im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur T für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Für Fermionen existiert analog die Fermi-Dirac-Statistik (welche im Nenner +1 statt -1 enthält), die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie E in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Bei Wechselwirkungsfreiheit ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

$\langle n(E) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E - \mu)} - 1}$

Hierbei ist μ das chemische Potential und β üblicherweise gleich 1 / (k_BT) (mit der Boltzmann-Konstanten k_B und der absoluten Temperatur T). Die Wahl des Faktors β hängt von der verwendeten Temperaturskala ab. Wird die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen, so beträgt er 1 / T. Dies geschieht, wenn der Faktor k_B auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht. Die Herleitung der Bose-Einstein-Verteilung findet sich unter Statistik idealer Quantengase.

Man beachte, dass es sich um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck mit dem entsprechenden Entartungsgrad g_i zu multiplizieren.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur T_λ erhält man im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass μ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Literatur

• U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - a Concise Overview, Berlin Heidelberg New York, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch)
• L.D. Landau, E.M. Lifschitz, Statistische Physik, Verlag Harri Deutsch, ehem. Akademie Verlag Berlin 1987. (verwendet unübliche Temperatureinheit).