Abbildungskegel

Der Abbildungskegel ist eine Konstruktion in der Topologie, die einer Abbildung $f: X\rightarrow Y$ zwischen zwei topologischen Räumen einen dritten topologischen Raum Cf zuordnet.

Der Abbildungskegel

Hierzu definiert man zunächst den Kegel CX eines Raumes X. Hierunter versteht man den Raum, den man aus dem Produkt $X\times [0,1]$ durch Identifikation aller Punkte in $X\times \{1\}$ (der „Kegelspitze“) erhält. Dieser ist offenbar homotopieäquivalent zu einem Punkt.

Den Abbildungskegel einer Abbildung $f: X\rightarrow Y$ erhält man nun (wie in der Zeichnung angedeutet) durch Verkleben von CX und Y. Genauer identifiziert man in der disjunkten Vereinigung $CX \sqcup Y$ jeweils (x,0) mit f(x) für alle $x\in X$.

In der Kategorie der punktierten topologischen Räume betrachtet man meist den reduzierten Abbildungskegel. Dieser entsteht dadurch, dass man in dem Abbildungskegel Cf das Intervall $pt \times [0,1]$ identifiziert. Hierbei bezeichnet pt den Basispunkt von X. Für einen wohlpunktierten Raum ist der reduzierte Abbildungskegel homotopieäquivalent zum normalen Abbildungskegel.

Beispiel

Wenn $f = id: X\rightarrow X$, so gilt $Cf \cong CX$. Ist $f: X \rightarrow Y$ konstant, so gilt $Cf \cong \Sigma X \vee Y$, wobei $\vee$ das Wedge-Produkt bezeichnet.

Der Kegel CS^{n − 1} ist homöomorph zur Vollkugel Dⁿ. Dies sieht man, indem man die Kegelspitze "herunterdrückt". Allgemeiner gilt, dass, wenn $f: \coprod_{i\in I} S^n_i\rightarrow X_n$ die anklebende Abbildung in einem CW-Komplex X an das n-Skelett ist, der Abbildungskegel Cf homöomorph zum (n+1)-Skelett X_{n + 1} ist.

Rolle in der Homotopietheorie

Sind zwei Abbildungen $f, g: X\rightarrow Y$ homotop, so sind ihre Abbildungskegel Cf und Cg homotopieäquivalent.

Wenn $A\subset X$ ein abgeschlossener Teilraum und die Inklusion $i: A\hookrightarrow X$ eine Kofaserung ist, so ist Ci homotopieäquivalent zu dem Quotientenraum X / A. Man kann zeigen, dass die Inklusion $j: Y\hookrightarrow Cf$ stets eine abgeschlossene Kofaserung ist. Somit erhält man, dass der Abbildungskegel Cj homotopieäquivalent zu $Cf/Y \cong \Sigma X$ ist, wobei ΣX die Einhängung von X bezeichnet. Fährt man auf die gleiche Weise fort, so erhält man, dass der Abbildungskegel der Inklusion von Cf nach ΣX die Einhängung von Y ergibt usw.

Hat man eine Abbildung $g: Y\rightarrow Z$ in einen topologischen Raum Z, so ist die Komposition $g\circ f$ genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn g fortsetzbar ist zu einer Abbildung $g': Cf\rightarrow Z$. Für den Fall, dass $f = id: X\rightarrow X$ ist das Resultat noch etwas anschaulicher: eine Abbildung $g: X\rightarrow Z$ ist genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn sie fortsetzbar ist zu einer Abbildung $g': CX\rightarrow Z$. Um die Abbildung g' zu konstruieren, benutzt man einfach die Homotopie $H: X\times [0,1]\rightarrow Z$, die auf $X\times {1}$ konstant ist.

Wenn man punktierte Räume und punktierte Abbildungen betrachtet, bedeutet dies, dass die folgende Sequenz exakt ist:

$\dots \rightarrow [\Sigma Y, Z] \rightarrow [\Sigma X, Z] \rightarrow [Cf, Z] \rightarrow [Y, Z] \rightarrow [X, Z]$

Diese exakte Sequenz nennt man auch Puppe-Folge.

Literatur

• Glen E. Bredon: Topology and Geometry. Revised 3rd printing. Springer, New York u. a. 1997, ISBN 0-387-97926-3 (Graduate Texts in Mathematics 139).
• Robert M. Switzer: Algebraic Topology – Homology and Homotopy. Reprint of the 1975 edition. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42750-3 (Classics in Mathematics).