Wedge-Produkt (Topologie)

Mit dem Wedge-Produkt (nach wedge engl. Keil; auch Einpunktvereinigung oder Bouquet genannt) $X\vee Y$ zweier punktierter topologischer Räume X und Y bezeichnet man ihre disjunkte Vereinigung, die an einem Punkt (dem Basispunkt) verklebt ist. Formal ist die Definition wie folgt:

$X\vee Y = (X\coprod Y)/(pt\coprod pt)$

Hierbei bezeichnet pt den jeweiligen Basispunkt.

Die Konstruktion kann man auch auf eine beliebige Menge von Räumen verallgemeinern:

$\bigvee_{i\in I}X_i = (\coprod_{i\in I}X_i)/(\coprod_{i\in I} pt_i)$

Abstrakter kann man das Wedge-Produkt als das Koprodukt in der Kategorie der punktierten topologischen Räume auffassen.

Rolle in der algebraischen Topologie

Das Wedge-Produkt verhält sich gut bezüglich einiger Funktoren in der algebraischen Topologie. Zum Beispiel gilt für die Fundamentalgruppe für lokal-kontrahierbare Räume X_i

$\pi_1(\bigvee_{i\in I}X_i) = *_{i\in I} \pi_1(X_i),$

wobei * das freie Produkt der Gruppen bezeichnet.

In der singulären Homologie gilt:

$H_n(\bigvee_{i\in I}X_i,pt) = \bigoplus_{i\in I} H_n(X_i, pt)$