- Beth-Funktion
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Die Beth-Funktion, benannt nach dem zweiten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als
geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung gewisser unendlicher Kardinalzahlen.
Die Beth-Funktion ordnet jeder Ordinalzahl α eine wie folgt rekursiv definierte Kardinalzahl
zu[1]:
, wobei
die kleinste unendliche Kardinalzahl ist, siehe Aleph-Funktion.
für Nachfolger-Ordinalzahlen α + 1. Dabei steht die rechte Seite für die Potenz von Kardinalzahlen.
für Limes-Ordinalzahlen α.
Die Kontinuumshypothese ist gleichbedeutend mit
, denn
ist definitionsgemäß die Mächtigkeit der Potenzmenge einer abzählbaren Menge und daher gleichmächtig zum Kontinuum
. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist äquivalent zu
, das heißt
für alle Ordinalzahlen α.
Eine Limes-Kardinalzahl κ heißt ein starker Limes, wenn μλ < κ für alle Kardinalzahlen λ,μ < κ. Eine Kardinalzahl κ ist genau dann eine starke Limes-Kardinalzahl, wenn
für eine Limes-Ordinalzahl ξ[2].
Einzelnachweise
- ↑ Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003) , ISBN 3-540-44085-2, Kapitel I.5, Seite 55
- ↑ W.W. Comfort, S. Negrepontis: The Theory of Ultrafilters, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 211 (1974), ISBN 3540066047, Lemma 1.23
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