Friedrichssche Erweiterung

Friedrichssche Erweiterung

Die Friedrichssche Erweiterung (nach Kurt Friedrichs) ist eine mathematische Konstruktion, nach der bestimmte dicht-definierte lineare Operatoren in Hilberträumen zu selbstadjungierten Operatoren erweitert werden können.

Inhaltsverzeichnis

Halb-beschränkte Operatoren

Wir betrachten einen linearen Operator A, der auf einem dichten Teilraum eines Hilbertraums H definiert ist. Dieser Teilraum heißt der Definitionsbereich von A und wird mit D(A) bezeichnet. Unter bestimmten Umständen, um die es in diesem Artikel geht, kann man den Operator A zu einem auf einem D(A) umfassenden Teilraum erweitern, so dass der erweiterte Operator selbstadjungiert ist.

Ein dicht-definierter Operator A heißt halb-beschränkt, falls es eine reelle Zahl c gibt, so dass \langle A\xi,\xi \rangle \ge c\|\xi\|^2 für alle \xi \in D(A). Offenbar sind positive Operatoren halb-beschränkt und halb-beschränkte Operatoren sind symmetrisch, denn nach Definition sind alle \langle A\xi,\xi \rangle reell.

In der Quantenmechanik auftretende Operatoren sind häufig halb-beschränkt, das c steht dann etwa für eine untere Energie-Schranke. Es stellt sich dann in natürlicher Weise die Frage, ob ein solcher Operator eine selbstadjungierte Erweiterung hat, diese ist dann eine quantenmechanische Observable.

Der Begriff des halb-beschränkten Operators wurde zuerst von Aurel Wintner eingeführt. Später hat Kurt Friedrichs die Theorie der halb-beschränkten Operatoren weiterentwickelt.[1]

Energetischer Raum

Sei A ein halb-beschränkter Operator mit \langle A\xi,\xi \rangle \ge c\|\xi\|^2 für alle \xi \in D(A) und λ sei eine reelle Zahl mit λ + c > 0. Sei

[\xi,\eta]_\lambda := \langle A\xi,\eta\rangle + \lambda \langle \xi,\eta\rangle für \xi,\eta\in D(A).

Dann ist [\cdot,\cdot ]_\lambda eine positive definite Form auf D(A) und man kann daher die Norm \|\xi\|_\lambda := \sqrt{[\xi,\xi]_\lambda} auf D(A) definieren. D(A) ist mit dieser Norm in der Regel kein vollständiger Raum; das führt zu folgender Konstruktion.

H_\lambda := \{\xi \in H; {\rm Es\, gibt\, eine\, Folge}\, (\xi_n)_n \,{\rm in} \,D(A)\, {\rm mit} \|\xi_n-\xi\|\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0 \, {\rm und} \,\|\xi_n-\xi_m\|_\lambda \stackrel{n,m\to\infty}{\longrightarrow} 0 \}.

Beachte, dass sich die erste Grenzwert-Bedingung auf die Hilbertraum-Norm auf H bezieht. Eine Folge n)n in der Definition von Hλ heißt eine approximierende Folge für \xi\in H_\lambda. Offenbar ist D(A)\subset H_\lambda, denn für \xi \in D(A) kann man als approximierende Folge die konstante Folge ξn = ξ wählen. Man kann nun folgende Aussagen beweisen:

  • Sind \xi,\eta \in H_\lambda mit approximierenden Folgen n)n und n)n, so existiert der Limes [\xi,\eta]_\lambda := \lim_{n\to\infty}[\xi_n,\eta_n]_\lambda und setzt die auf D(A) definierte Form fort.
  • Hλ ist mit der positiv definiten Form [\cdot,\cdot]_\lambda ein Hilbertraum.
  • Ist auch μ eine reelle Zahl mit μ + c > 0, so ist H_\lambda = H_\mu \subset H als Mengen, die durch [\cdot,\cdot]_\lambda bzw. [\cdot,\cdot]_\mu definierten Normen sind äquivalent.

Der Raum Hλ hängt also nur von A und nicht vom speziellen λ ab; er wird daher mit HA bezeichnet und heißt der energetische Raum von A.

Friedrichssche Erweiterung

Sei A ein halb-beschränkter Operator. Dann ist A symmetrisch, das heißt es gilt A\subset A^*, wobei A * der adjungierte Operator ist. Definiert man

AFξ: = A * ξ für \xi \in D(A_F):= H_A\cap D(A^*),

so ist AF ein selbstadjungierter Operator, der A erweitert. AF heißt die Friedrichssche Erweiterung von A.

Man beachte, dass im Allgemeinen weder A noch A * selbstadjungiert ist. Erst durch obige geschickte Wahl des Definitionsbereichs erhält man einen zwischen A und A * gelegenen selbstadjungierten Operator, der die Einschränkung von A * auf diesem Teilraum ist. Es ist daher A\subset A_F \subset A^*

Quellen

  • Hans Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch, 1980.

Einzelnachweise

  1. Franz Rellich: Halbbeschränkte Differentialoperatoren höherer Ordnung Abgerufen am 17. Juni 2011

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Selbstadjungierter Operator — Ein selbstadjungierter Operator ist ein linearer Operator mit besonderen Eigenschaften. Operatoren und insbesondere selbstadjungierte Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Der selbstadjungierte Operator …   Deutsch Wikipedia

  • Hermitescher Operator — Hermitesche Operatoren, benannt nach Charles Hermite, spielen eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik, denn alle physikalischen Observablen werden durch lineare, selbstadjungierte Operatoren beschrieben und diese sind hermitesch. Der Begriff… …   Deutsch Wikipedia

  • Kurt Friedrichs — Kurt Otto Friedrichs (* 28. September 1901 in Kiel; † 31. Dezember 1982 in New Rochelle, New York) war ein deutsch amerikanischer Mathematiker. Sein Hauptwerk lag auf dem Gebiet der partielle Differentialgleichungen in der Mathem …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”