Erdős-Borwein-Konstante

Erdős-Borwein-Konstante

Die Erdős–Borwein-Konstante, benannt nach Paul Erdős und Peter Borwein, ist eine mathematische Konstante. Sie ist als die Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen definiert:

E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n-1} = 1{,}60669\text{ }51524\text{ }15291\text{ }76378\text{ }... (Folge A065442 in OEIS)

Folgende Darstellungen sind dazu äquivalent:

E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}
E = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{mn}}
E = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(2^n-1)}
E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_0(n)}{2^n}

wobei σ0(n) = d(n) die Teileranzahl ist (Anzahl der positiven Teiler von n). Um die Äquivalenz zu beweisen, beachte man, dass alle Summen als Lambert-Reihen ausgedrückt und dann umsummiert werden können.

Die Konstante wurde bereits 1749 von Euler betrachtet.[1] Erdős zeigte 1948, dass E eine irrationale Zahl ist.[2] Borwein zeigte 1992, dass allgemein

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{q^n-r}     und     \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{q^n-r}

für jede ganze Zahl q ≠ 0, ±1 und jede rationale Zahl r ≠ 0, qn irrational, aber nicht liouvillesch sind.[3]

Literatur

  • Steven R. Finch: Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 355 und 357 (englisch)

Einzelnachweise

  1. ↑ Leonhard Euler: Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae (19. Juni 1749/26. Januar 1750), Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 3, 1753, S. 86–108 (lateinisch; „s=1,606695152415291“ auf S. 108)
  2. ↑ Paul Erdős: On arithmetical properties of Lambert series (8. Juli 1948), The Journal of the Indian Mathematical Society 12, 1948, S. 63–66 (englisch)
  3. ↑ Peter B. Borwein: On the irrationality of certain series (PDF-Datei, 3,3 MB; 11. Dezember 1991), Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 112, 1992, S. 141–146 (englisch)

Weblinks


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