Kempner-Reihe

Kempner-Reihe

In der Mathematik bezeichnen die zehn Kempner-Reihen diejenigen Reihen, die dadurch entstehen, dass man aus der harmonischen Reihe H_n=\sum_{k=1}^n \frac1k alle Summanden entfernt, die eine bestimmte dezimale Ziffer in ihrem Nenner enthalten. Die Kempner-Reihen gehören daher zu den subharmonischen Reihen.

Lässt man etwa alle Summanden weg, deren Nenner die Ziffer 0 in seiner Dezimalschreibweise enthält, ergibt sich die Kempner-Reihe K0 als

K_0=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac19+\frac1{11}+\cdots+\frac1{19}+\frac1{21}+\cdots+\text{ usw. }+\cdots+\frac1{99}+\frac1{111}+\ldots

Oder durch Auslassen der Summanden mit einer 1 im Nenner:

K_1=\frac12+\frac13+\cdots+\frac19+\frac1{20}+\frac1{22}+\cdots+\frac1{30}+\frac1{32}+\cdots+\text{ usw. }+\cdots+\frac1{99}+\frac1{200}+\frac1{202}+\cdots

Sie wurden erstmals von Aubrey J. Kempner 1914 beschrieben.[1]

Das Interessante an diesen Reihen ist, dass alle zehn konvergieren, obwohl die harmonische Reihe selbst nicht konvergiert. Dies wurde von Kempner bewiesen; daher werden die Reihen oft Kempnerreihen genannt.

Inhaltsverzeichnis

Beweis der Konvergenz

Für die Kempner-Reihe K0 sind

  • im einstelligen Nennerbereich 1 bis 9 genau \!\ 9 Nenner (alle) zulässig;
  • im zweistelligen Nennerbereich 10 bis 99 genau 9\cdot 9=9^2 Nenner (neun Ziffern an der ersten Stelle mal neun Ziffern an der zweiten Stelle möglich) zulässig;
  • im dreistelligen Nennerbereich 100 bis 999 genau 9\cdot 9\cdot 9=9^3 Nenner zulässig; usw.,

allgemein sind

  • im n-stelligen Nennerbereich 10n − 1 bis 10n − 1 genau \!\ 9^n Nenner zulässig.

Die 9 zulässigen einstelligen Nennerwerte sind allesamt größergleich 1, daher sind die Brüche in der Reihe jeweils kleinergleich 1; die 92 zulässigen zweistelligen Nenner sind alle größergleich 10, daher sind die entsprechenden Brüche alle kleinergleich \tfrac1{10}; die 93 dreistelligen zulässigen Nenner sind jeweils größergleich 100, daher sind die entsprechenden Brüche allesamt kleinergleich \tfrac1{100}; usw.

Das ergibt die obere Schranke

\begin{matrix} K_0&=&(\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac19)&+&(\frac1{11}+\cdots+\frac1{99})&+&(\frac1{111}+\cdots+\frac1{999})&+&\cdots \\
&<& (\frac11+\frac11+\frac11+\cdots+\frac11)&+& (\frac1{10}+\cdots+\frac1{10})&+& (\frac1{100}+\cdots+\frac1{100})&+&\cdots \\
&=& 9\cdot\frac11 &+& 9^2\cdot\frac1{10}&+&9^3\cdot\frac1{100}&+&\cdots \end{matrix}
= 9\cdot \left(1+\left(\frac9{10}\right)+\left(\frac9{10}\right)^2+\left(\frac9{10}\right)^3+\cdots\right)
=\frac9{1-\frac9{10}}=90.

(Bei der Reihe in der vorletzten Zeile handelt es sich um eine konvergente geometrische Reihe)

Damit konvergiert K0 und es gilt die (ziemlich großzügige) Schranke

K0 < 90.

Der Beweis der Konvergenz der anderen Reihen verläuft analog, es ist aber zu beachten, dass im einstelligen Nennerbereich nur 8 Werte, im zweistelligen Nennerbereich aber 8\cdot 9 Nennerwerte zulässig sind, da an der ersten Stelle sowohl die Null als auch die entsprechende Ziffer, an der zweiten Stelle aber nur die entsprechende Ziffer "verboten" sind, usw.; insgesamt ergibt sich dadurch die Schranke 80.

Werte

Die Reihen konvergieren extrem langsam.

Näherungswerte

Ausgelassene Ziffer Näherungswert[2]
0 23,10344
1 16,17696
2 19,25735
3 20,56987
4 21,32746
5 21,83460
6 22,20559
7 22,49347
8 22,72636
9 22,92067

Effiziente Berechnungsmöglichkeiten

Aufgrund der ziemlich langsamen Konvergenz benötigt man schnelle und effiziente Berechnungsalgorithmen, vgl. [3].

Erweiterungen

n-faches Auftreten

F. Irwin verallgemeinerte das Resultat der Konvergenz der zehn Kempner-Reihen, indem er bewies, dass alle Reihen, die über die Kehrwerte aller natürlicher Zahlen, in denen die Ziffer x0 genau n0 mal, die Ziffer x1 genau n1, usw. auftreten, ebenfalls konvergieren.[4]

Die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen genau eine 9 vorkommt, beträgt etwa 23,044287080747848319. Dieser Wert ist größer als Kempners K9, obwohl diese mit größeren Summanden beginnt. Ein extremeres Beispiel dafür ist die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen einhundert Nullen vorkommen, sie beginnt mit dem Summanden 1 / 10100 und ist dennoch größer als etwa K9.[3]

Zusammenhängende Ziffernfolgen

Eine Möglichkeit, die harmonische Reihe weit weniger auszudünnen, ist, nur alle Summanden herauszunehmen, deren Nenner irgendwo eine bestimmte zusammenhängende Ziffernfolge - etwa 314 - enthält. Auch derartige Reihen konvergieren - in diesem Fall ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2299,829782.[5]

In anderen Stellenwertsystemen

Es gibt natürlich auch analoge Reihen in anderen Stellenwertsystemen. Die duale Kempner-Reihe etwa entsteht durch Streichen aller Summanden, die eine O in ihrer Dualdarstellung enthalten. Alle Dualzahlen zu streichen, in denen eine I vorkommt, geht nicht. Die einzige duale Kempnerreihe ist also

\begin{alignat}{2} K_{\text{dual}} &= \frac{\rm I}{\rm I}+\frac{\rm I}{\rm II}+\frac{\rm I}{\rm III}+\frac{\rm I}{\rm IIII}+\cdots &\text{(dual)} \\
&= 1+\frac13+\frac17+\frac1{15}+\frac1{31}+\cdots  &\text{    (dezimal)}\\
&= \sum_{k=1}^\infty \frac1{2^k-1}\\
&= 1{,}60669515241529 \ldots,
\end{alignat}

welche gegen die Erdős-Borwein-Konstante konvergiert. Zum Beweis der Konvergenz betrachte man die unendliche konvergente geometrische Reihe \sum_{k=0}^\infty\frac1{2^k} =\sum_{k=0}^\infty\left(\frac12\right)^k = \frac1{1-\frac12}=2 als obere Schranke.

Quellen

  1. Aubrey J. Kempner: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly, Band 21 Nr. 2, Mathematical Association of America, Washington 1914, Seiten 48–50, ISSN 00029890.
  2. Eric W. Weisstein: Kempner Series. In: MathWorld. (englisch)
  3. a b Robert Baillie: Summing the Curious Series of Kempner and Irwin, 27. Juni 2008, arxiv
  4. F. Irwin: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly. Band 23, 1916, Seiten 149-152.
  5. R. Baillie, T. Schmelzer: Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series. 20. Mai 2008; vgl. in Wolfram Libary Archive

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