Cauchykriterium

Das Cauchykriterium für Reihen (nach Augustin Louis Cauchy) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung ob eine Reihe konvergent oder divergent ist.

Definition

Sei eine Reihe

$S = \sum_{n=0}^\infty a_n$

mit reellen oder komplexen Summanden a_n gegeben.

Wenn zu jedem $\varepsilon > 0$ ein Index N existiert, so dass für alle m und n mit m > n > N gilt:

$\left| \sum_{k=n}^m a_k \right| < \varepsilon$

dann konvergiert die Reihe in $\mathbb{R}$ (bzw. $\mathbb{C}$). Ist das Kriterium nicht erfüllt, divergiert sie.

Dieses Kriterium sagt zunächst nur aus, dass die Partialsummenfolge von S eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit von $\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$ folgt dann die Konvergenz der Reihe.

Quellen

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.
• Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.