Kompakt-offene Topologie

Die kompakt-offene Topologie ist eine im Teilgebiet der Mathematik der Topologie betrachtete Struktur auf Räumen von Funktionen zwischen topologischen Räumen. Sind X und Y topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge C(X,Y) aller stetigen Funktionen $X\to Y$ wieder zu einem topologischen Raum zu machen. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die unten definierte kompakt-offene Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Definition

Seien X und Y topologische Räume. Ist $K\subset X$ kompakt und $U\subset Y$ offen, so sei $\Omega(K,U) := \{f\in C(X,Y): \, f(K)\subset U\}$.

Die kompakt-offene Topologie auf C(X,Y) ist die von allen Mengen der Form Ω(K,U), $K\subset X$ kompakt, $U\subset Y$ offen, erzeugte Topologie, d.h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen Ω(K,U).

Die Mengen Ω(K,U), $K\subset X$ kompakt, $U\subset Y$ offen, bilden damit eine Subbasis der kompakt-offenen Topologie. Die kompakt-offene Topologie wird oft mit co abgekürzt (engl. compact-open), C_co(X,Y) bezeichnet dann den Raum C(X,Y), der mit der kompakt-offenen Topologie versehen ist.

Eigenschaften

Im Folgenden seien X und Y topologische Räume.

Trennungsaxiome

Ist Y T₀-Raum, T₁-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt C_co(X,Y) demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung

Für jede nicht-leere Teilmenge $H\subset C(X,Y)$ hat man die Auswertungsabbildung $j_H: H\times X \to Y, (f,x)\mapsto f(x)$. Ist τ irgendeine Topologie auf H, so dass j_H stetig ist ($H\times X$ trägt dabei die Produkttopologie aus τ und der auf X gegebenen Topologie), so ist $co|_H\subset \tau$, d.h., die relative kompakt-offene Topologie auf H ist gröber als τ. In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung j_H stetig, wenn man H mit der relativen kompakt-offenen Topologie versieht; es gilt:

Ist X lokalkompakt und Y ein beliebiger topologischer Raum, so ist die kompakt-offene Topologie auf jeder Teilmenge $H\subset C(X,Y)$ die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung $j_H: H\times X \to Y, (f,x)\mapsto f(x)$ stetig macht.

Komposition

Seien X und Y lokalkompakt, Z sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

$C_{co}(X,Y)\times C_{co}(Y,Z) \rightarrow C_{co}(X,Z), \,\, (f,g)\mapsto g\circ f$

stetig.

Kompakte Konvergenz

Sei X lokalkompakt, Y uniformer Raum. Dann stimmt die kompakt-offene Topologie auf C(X,Y) mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei X ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt $p\in X$. Mit π₁(X,p) werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt p bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen π_n(X,p) betrachte man den Raum Ω_X,p aller stetigen Abbildungen $g: ([0,1]^2, \partial[0,1]^2) \to (X,p)$ des Einheitsquadrates [0,1]² nach X, die den Rand $\partial[0,1]^2$ des Einheitsquadrates auf den Basispunkt p abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus Ω_X,p, die das Einheitsquadrat auf den Punkt p abbildet, mit $\tilde{p}$ und versieht man Ω_X,p mit der relativen kompakt-offenen Topologie von C([0,1]²,X), so ist das Paar $(\Omega_{X,p},\tilde{p})$ ein topologischer Raum mit einem ausgezeichnetem Punkt.

Man definiert nun $\pi_2(X,p):= \pi_1(\Omega_{X,p},\tilde{p})$ und allgemeiner rekursiv $\pi_n(X,p):= \pi_{n-1}(\Omega_{X,p},\tilde{p})$ für n > 1.

Quellen

• Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121).
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. Teubner, Stuttgart 1964 (Teubners mathematische Leitfäden. ZDB-ID 259127-3), (4. Auflage. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6).