Modularitätssatz

Der Modularitätssatz (früher Taniyama-Shimura-Vermutung) ist ein mathematischer Satz über elliptische Kurven und Modulformen. Er wurde 1958 von Yutaka Taniyama und Gorō Shimura vermutet und im Jahr 2001 von Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor bewiesen, nachdem bereits Andrew Wiles im Jahr 1995 den wichtigsten (und schwierigsten) Fall der semistabilen Kurven gezeigt hatte. Der Satz und sein Beweis gilt als einer der großen mathematischen Fortschritte des zwanzigsten Jahrhunderts. Eine Konsequenz des Modularitätssatzes ist der große Satz von Fermat. Heutzutage wird der Modularitätssatz als ein Spezialfall der sehr viel allgemeineren und wichtigeren Serre-Vermutung über Galoisdarstellungen gesehen. Diese wurde, aufbauend auf der Arbeit von Andrew Wiles, 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen.

Die Aussage des Modularitätssatzes

Die komplex-analytische Version

Die Gruppe

$\Gamma_0(N) = \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in \text{Sl}_2(\Z)\ |\ c\equiv 0\mod N\right\}$

operiert auf der oberen Halbebene $\mathfrak H$ durch Möbiustransformation. Der Quotientenraum $Y_0(N) = \Gamma_0(N)\backslash \mathfrak H$ ist eine nicht-kompakte Riemannsche Fläche. Durch Hinzunahme gewisser Punkte aus $\mathbb{Q}\cup \{i\infty\}$ (den sogenannten Spitzen), kann man Y₀(N) kompaktifizieren und erhält so eine kompakte Riemannsche Fläche X₀(N). Die komplex-analytische Version der Vermutung sagt aus, dass für jede elliptische Kurve $E = \mathbb{C}/\Lambda$ über $\mathbb{C}$ (Λ ein Gitter), mit $j(E) \in \mathbb{Q}$, ein $N\in \mathbb{N}$ und eine nicht-konstante holomorphe Abbildung Riemannscher Flächen

$X_0(N) \rightarrow E$

existiert. Die Zahl N heißt der (modulare) Führer von E.

Eine elliptische Kurve, für die die hier gegebene Aussage wahr ist, heißt modular. Der Modularitätssatz besagt, dass alle elliptischen Kurven über $\mathbb{Q}$ modular sind.

Die komplex-analytische Version des Satzes ist sehr schwach und a priori noch keine zahlentheoretische Aussage.

L-Reihen-Version

Folgende Version der Vermutung macht eine Aussage über elliptische Kurven über $\mathbb{Q}$.

Sei E eine elliptische Kurve über $\mathbb{Q}$ mit L-Reihe L(E,s). Dann gibt es ein $N \in \mathbb{N}$ (den Führer) und eine Modulform $f\in S_2(N)$ mit L_f(s) = L(E,s). Hierbei ist L_f(s) die Hecke-L-Reihe von f.

Aus der Theorie der Modulformen folgert man daraus leicht, dass L(E,s) eine analytische Fortsetzung und eine Funktionalgleichung besitzt. Dies spielt für die Wohldefiniertheit der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer eine große Rolle.

Algebraisch-geometrische Version

Aus der Theorie der Riemannschen Flächen (oder einer Version des GAGA-Theorems) folgt, dass die Modulkurve X₀(N) als ein Schema über $\mathbb{C}$ definiert werden kann. Man kann zeigen, dass X₀(N) sogar ein Schema über $\mathbb{Q}$ ist. Der Modularitätssatz postuliert nun für jede elliptische Kurve E einen surjektiven Morphismus

$X_0(N) \rightarrow E$

von algebraischen Kurven über $\mathbb{Q}$ für ein N.

Darstellungstheoretische Version

Sei $f\in S_k(N)$ eine Modulform. Nach tiefen Sätzen von Pierre Deligne, Jean-Pierre Serre und Robert Langlands, kann man f eine zweidimensionale Galoisdarstellung

$\rho_{f,p}: \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow \text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$

zuordnen. Hier steht links die absolute Galoisgruppe und rechts die allgemeine lineare Gruppe des zweidimensionalen Vektorraums über dem Körper $\mathbb{Q}_p$ der p-adischen Zahlen. Ebenso kann man jeder elliptischen Kurve E über $\mathbb{Q}$ eine solche Galoisdarstellung ρ_E,p zuordnen.

Der Modularitätssatz besagt in diesem Fall, dass es für jede elliptische Kurve E über $\mathbb{Q}$ eine Primzahl p gibt und eine Modulform $f\in S_2(N)$ für ein N, so dass ρ_E,p und ρ_f,p äquivalent sind.

Dies ist die Version, die von Wiles bewiesen wurde.

Skizzierung des Zusammenhangs zwischen Taniyama-Shimura und Fermat

Fermats letzter Satz sagt aus, dass es keine positiven ganzzahligen Lösungen der Gleichung aⁿ + bⁿ = cⁿ für n größer als 2 gibt. Seit der französische Mathematiker Pierre de Fermat 1637 behauptet hatte, einen Beweis für diese Aussage gefunden zu haben – ohne diesen jedoch anzugeben oder in seinen schriftlichen Aufzeichnungen zu hinterlassen – haben Mathematiker einen Beweis für diesen Satz gesucht. Die Suche nach einem Beweis für Fermats letzten Satz hat die Zahlentheorie für mehr als zwei Jahrhunderte geprägt und wichtige Bausteine, wie die Idealtheorie, wurden erfunden um den Satz zu beweisen.

Der Saarbrücker Mathematiker Gerhard Frey stellte 1986 eine Vermutung über einen Zusammenhang zwischen Fermats letztem Satz und der Taniyama-Shimura-Vermutung auf: Nimmt man an, dass Fermats letzter Satz falsch ist und es tatsächlich Lösungen der Gleichung a^p + b^p = c^p gibt, so ist die elliptische Kurve y² = x(x − a^p)(x + b^p) wahrscheinlich nicht modular. Ken Ribet konnte daraufhin 1990 zeigen, dass diese sogenannte Frey-Kurve tatsächlich nicht modular ist (er benutzte die sogenannte "Level-lowering"-Methode).

Mit anderen Worten: Wenn Fermats letzter Satz falsch ist, so auch die Taniyama-Shimura-Vermutung; ist die Taniyama-Shimura-Vermutung hingegen richtig, so muss auch Fermats letzter Satz richtig sein.

Da die Frey-Kurve semistabil ist, folgt der Beweis von Fermats letztem Satz aus der von Wiles bewiesenen Version des Modularitätssatzes.

Bedeutung für die Mathematik

Das Taniyama-Shimura-Theorem ist ein Beispiel für die Vereinheitlichung der Mathematik; darunter wird die Etablierung von Zusammenhängen zwischen vormals als völlig verschieden betrachteten Gebieten der Mathematik verstanden, die Mathematiker in die Lage versetzt, Probleme, die in einem Gebiet nicht lösbar sind, in ein äquivalentes Problem eines anderen Gebietes zu übersetzen und dort ggf. zu lösen.

Quellenangaben

Folgende drei Paper enthalten den Beweis des Modularitätsatzes:

• Andrew Wiles: Modular Elliptic Curves and Fermat’s last theorem. Annals of Mathematics 141 (1995), 443–551
• Richard Taylor, Andrew Wiles: Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras. Annals of Mathematics 141 (1995), 553–572.
• Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: On the modularity of elliptic curves over Q: Wild 3-adic exercises, Journal of the American Mathematical Society 14 (2001), pp. 843–939. (Enthält den Beweis des Modularitätssatzes.)

In folgendem Paper wird Fermats letzter Satz auf den Modularitätssatz zurückgeführt:

• Ribet, K. A. From the Taniyama-Shimura Conjecture to Fermat's Last Theorem. Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 11, 116-139, 1990a.

Literatur

• Fred Diamond, Jerry Shurman: A First Course in Modular Forms. Springer Verlag 2007, ISBN 978-0387232294
• Simon Singh: Fermats letzter Satz – Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. ISBN 3-423-33052-X.
• Simon Singh, Kenneth Ribet: Die Lösung des Fermatschen Rätsels in Spektrum der Wissenschaft 1/98, Seite 96 ff. ISSN 0170-2971.