Serre-Vermutung

Der Satz von Quillen–Suslin wurde ebenfalls von Serre vermutet und könnte daher auch Serre-Vermutung genannt werden.

Die Serre-Vermutung ist ein mathematischer Satz über Galoisdarstellungen und Modulformen, der im Jahr 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen wurde. Die Serre-Vermutung impliziert den Modularitätssatz und damit auch den großen Satz von Fermat. Die Serre-Vermutung geht auf eine Vermutung von Jean-Pierre Serre zurück.

Unabhängig von Khare und Wintenberger bewies auch Luis Dieulefait 2004 Spezialfälle der Serre-Vermutung, die für den Beweis des großen Satzes von Fermat ausreichen.

Formulierung

Die Vermutung betrifft Galoisdarstellungen der absoluten Galoisgruppe $G_\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.

Sei ρ eine absolut irreduzible, stetige und ungerade zweidimensionale Darstellung von $G_\mathbb{Q}$ über einem endlichen Körper

$F = \mathbb{F}_{l^r}$

der Charakteristik l,

$\rho: G_\mathbb{Q} \rightarrow GL_2(F).\$

Nach der Vermutung gibt es eine Hecke-Eigenform

$f = q+a_2q^2+a_3q^3+\cdots\$

der Stufe N = N(ρ), Gewicht k = k(ρ), und Nebentypus

$\chi : \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \rightarrow F^*\$ ,

so dass für alle Primzahlen p, teilerfremd zu Nl Folgendes gilt:

$\operatorname{Trace}(\rho(\operatorname{Frob}_p))=a_p\$

und

$\det(\rho(\operatorname{Frob}_p))=p^{k-1} \chi(p).\$

Die Stufe und das Gewicht von ρ werden explizit in Serres Artikel berechnet.

Es ist bereits sehr lange durch tiefe Sätze von Goro Shimura, Pierre Deligne, Barry Mazur und Robert Langlands^[1] bekannt, dass man jeder Hecke-Eigenform $f\in S_k(N,\chi)$ eine Darstellung (wie oben gefordert) zuordnen kann. Die Serre-Vermutung behauptet die Umkehrung: Jede irreduzible, stetige und ungerade Darstellung stammt von einer Modulform.

Einzelnachweise

1. ↑ Siehe Theorem 3.26 in Haruzo Hida: Modular Forms and Galois cohomology. Cambridge: Cambridge University Press 2000

Weblinks

• Serre's Modularity Conjecture 50-minütige Vorlesung von Ken Ribet vom 25. Oktober 2007 (Folien PDF , andere Version der Folien PDF)
• Vorlesung über die Serre-Vermutung
• Gabor Wiese: Der Zusammenhang zwischen Modulformen und Zahlkörpern. Essener Unikate 2007, PDF-Datei, zur Serre-Vermutung und ihrem Beweis

Ein Beweis der Serre-Vermutung ist in den folgenden drei Papern enthalten:

• Der Beweis der Serre-Vermutung, Teil I
• Der Beweis der Serre-Vermutung, Teil II
• Der von Mark Kisin bewiesene Teil der Serre-Vermutung